Lebesgue-Integral & maj. Konv. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Di 23.02.2010 | | Autor: | Lucy234 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie ob der folgende Grenzwert existiert und berechnen Sie ihn gegebenenfalls:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{(1-\bruch{x}{n})*sin(x) dx} [/mm] |
Hallo zusammen,
mein Problem bei der Aufgabe ist, dass die obere Grenze des Integrals "n" ist. Normalerweise würde ich einfach die Funktion abschätzen durch [mm] (1-\bruch{x}{n}) [/mm] und den Satz über majorisierte Konvergenz anwenden. Dann erhalte ich [mm] \integral_{0}^{n}{e^x * sin(x) dx}. [/mm] Aber jetzt hängt die Intervallgrenze ja auch noch von dem n ab... Darf ich dann einfach als obere Grenze [mm] \infty [/mm] schreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Di 23.02.2010 | | Autor: | gfm |
[mm] \integral_{0}^{n}(1-\bruch{x}{n})sin(x)dx
[/mm]
läßt sich doch als bestimmtes Integral auswerten, oder?
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Di 23.02.2010 | | Autor: | Lucy234 |
Ich sehe gerade,dass ich mich verschrieben habe. Es müsste [mm] (1-\bruch{x}{n})^n [/mm] in der Aufgabe heißen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 23.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze
[mm] $f_n(x):= (1-x/n)^n*sin(x)$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,n] und [mm] $f_n(x):= [/mm] 0$ für x>n
Dann konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auf [0, [mm] \infty) [/mm] punktweise gegen $f(x) = [mm] e^{-x}sin(x)$
[/mm]
und es ist
[mm] $\integral_{0}^{n}{(1-x/n)^n*sin(x) dx}= \integral_{0}^{\infty}{f_n(x) dx}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 23.02.2010 | | Autor: | Lucy234 |
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
Aber müsste auf der rechten Seite in dem Integral dann nicht f(x) stehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Di 23.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
> Aber müsste auf der rechten Seite in dem Integral dann
> nicht f(x) stehen?
Wie kommst Du darauf ? Schau Dir die Def. von [mm] f_n [/mm] nochmal an
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 23.02.2010 | | Autor: | Lucy234 |
Ich dachte, dass ich wegen dem Satz über maj. Konv. das Integral und den Limes vertauschen kann.. und deshalb steht rechts dann f(x). Stimmt das nicht? Aber irgendwie muss man doch auch den limes berücksichtigen, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Mi 24.02.2010 | | Autor: | Lucy234 |
Ich habe jetzt als Ergebnis [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] herausbekommen. Kann mir jemand sagen ob das stimmt? Danke schon mal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe jetzt als Ergebnis [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] herausbekommen.
> Kann mir jemand sagen ob das stimmt? Danke schon mal!
Ich rechne das jetzt nicht nach. Herauskommen sollte
[mm] \integral_{0}^{ \infty}{e^{-x}sinxdx}
[/mm]
Diese Integral kannst Du mit 2 facher partieller Integration berechnen.
Hast Du das so gemacht ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Mi 24.02.2010 | | Autor: | Lucy234 |
Ja habe ich. Dann müsste das so stimmen, vielen dank nochmal!
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