Lebesgue-/nicht Borelmessbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:47 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
| Aufgabe | Man verwende die Existenz einer überabzählbaren Nullmenge C um zu zeigen: Es gibt Lebesgue-messbare Teilmengen von [mm] \IR, [/mm] die nicht in der Borelschen [mm] \sigma-Algebra [/mm] enthalten sind.
Hinweis: Es kann vorrausgesetzt werden, dass auch für überabzählbare Mengen die Potenzmenge einer Menge stets größer als die Menge selbst ist. |
Da das Lebesgue-Maß vollständig ist, folgt schon mal aus der Existenz der überabzählbaren Nullmenge C (hiermit ist die Cantormenge gemeint - die haben wir schon mal letztes Semester konstruiert und dabei dann auch gesagt gekriegt, dass sie eine Nullmenge ist (ohne Beweis aber)), dass die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen eine größere Kardinalität hat als die des Kontinuums.
Bei Wikipedia steht, dass die [mm] Borelsche-\sigma-Algebra [/mm] gleichmächtig zu [mm] \IR [/mm] ist - damit wär ja die Aufgabe gelöst. Nur weiss ich leider bei besten Willen nicht wie ich das zeigen soll.
Es würde ja auch genügen zu zeigen, dass das Borel-Maß nicht vollständig ist - aber hier dasselbe Problem. Ich hab keine Ahnung wie ich das machen sollte.
Ma spontan so eine Menge zu konstruieren ist ja auch recht schwer. Auch hier fällt mir nix ein.
Schon mal im Vorraus Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 06.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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