Lebesgue Integrationstheorie < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Fr 24.11.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
ich habe zwei recht allgemeine Fragen zur Lebesgueschen Integrationstheorie:
1.) Es sind ja mehr Funktionen L-integrierbar als Rieman-integrierbar, liegt das daran, dass bei Rieman-Integralen zur Approximation Treppenfktn. benutzt werden, die als Grundflächen Quarder haben, während in der L.-Theorie einfache Fktn. benutzt werden, die beliebige messbare Fktn. als Grundfläche haben?
2.) Warum zerlegt man in der L.-Theorie die Funktion in [mm] f^{+} [/mm] und [mm] f^{-}, [/mm] so dass man dann nur nicht negative Fktn. integrieren muss, dies führt ja dazu, dass dann einige uneigentliche Integrale (etwa sin(x)/x) nicht existieren. Wieso erlaubt man in den einfachen Fktn (in der Form [mm] f=\summe_{i=1}^{n} \alpha_i \chi_{M_i}) [/mm] nicht einfach negative [mm] \alpha_i [/mm] und integriert dann sofort ganz f?
Vielen Dank
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Fr 24.11.2006 | | Autor: | SEcki |
> 1.) Es sind ja mehr Funktionen L-integrierbar als
> Rieman-integrierbar, liegt das daran, dass bei
> Rieman-Integralen zur Approximation Treppenfktn. benutzt
> werden, die als Grundflächen Quarder haben, während in der
> L.-Theorie einfache Fktn. benutzt werden, die beliebige
> messbare Fktn. als Grundfläche haben?
Ja, bel. meßbare Mengen. (Das bezeiht natürlich nicht auf uneigentlich Riemann-int.bar). Anders gesagt: die Approximation bei Riem. ist ja auch gültig für L., also sind diese Funktionen L.-intbar. Die Umkehrung gilt halt nicht (Beispiel?).
> 2.) Warum zerlegt man in der L.-Theorie die Funktion in
> [mm]f^{+}[/mm] und [mm]f^{-},[/mm] so dass man dann nur nicht negative Fktn.
> integrieren muss, dies führt ja dazu, dass dann einige
> uneigentliche Integrale (etwa sin(x)/x) nicht existieren.
> Wieso erlaubt man in den einfachen Fktn (in der Form
> [mm]f=\summe_{i=1}^{n} \alpha_i \chi_{M_i})[/mm] nicht einfach
> negative [mm]\alpha_i[/mm] und integriert dann sofort ganz f?
Weil das nicht geht. Dies führt zu Widersprüchen - du kannst bei [m]sin(x)/x[/m] für jede relle Zahl eine Ausschöpfung von [m]\IR[/m] finden, so dass deine Approximation dagegen konvergiert ... also ist das Integral nicht mehr wohldef.
SEcki
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:47 So 03.12.2006 | | Autor: | demo |
Hallo.
Ich denke ich habe die Idee des L-Integrals noch gar nicht verstanden.
Was bedeutet das hier was du sagst- einfache Funktionen die bel messbare Mengen als Grundfläche haben-?
Ich kenne die Definition von einfacher Funktion aber verstehe sie nciht. Ist das einfach eine Treppenfunktion die sich der Funktion annähert, was dann die Grundfläche ist?
> 1.) Es sind ja mehr Funktionen L-integrierbar als
> Rieman-integrierbar, liegt das daran, dass bei
> Rieman-Integralen zur Approximation Treppenfktn. benutzt
> werden, die als Grundflächen Quarder haben, während in der
> L.-Theorie einfache Fktn. benutzt werden, die beliebige
> messbare Fktn. als Grundfläche haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Sa 06.01.2007 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
sorry das ich so spät antworte, aber ich hatte gar nicht mehr in den Thread geschaut. Ich diskutiere im Folgende mal die Situation im Falle von [mm] \IR.
[/mm]
Die Idee der einfachen Funktion ist, das sie zwar "verwand" ist mit der Treppenfunktion ist aber nicht genau das gleiche. Treppenfunktionen, die man in der Riemannsche Theorie benutzte, habe die Form:
[mm] f(x)=\summe_{i=1}^{n}\alpha_n\chi_{[\a_n,b_n]}
[/mm]
das heißt man hat als Grundmenge einfach nur Intervalle.
Einfache Funktionen hingegen haben die Form:
[mm] f(x)=\summe_{i=1}^{n}\alpha_n\chi_{A_n} [/mm] mit [mm] A_n [/mm] eine meßbare Menge. Da alle Intervalle meßbar sind, gibt es viele mehr einfache Funktionen als Treppenfunktionen, daher kann man mit einfachen Funktionen eine gegebene Funktion wesentlich besser approximieren und kommt so zu mehr integrierbaren Funktionen.
Ich hoffe ich konnte Dir ein bisschen helfen.
Gruß
Frank
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