Lebesgue Messbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:52 Fr 16.05.2014 | | Autor: | Studi91 |
| Aufgabe | | Zz.: Die Menge M [mm] \subset \IR [/mm] aller reellen Zahlen, deren Dezimaldarstellung keine 7 enthält, ist Lebesgue messbar. |
Hallo,
ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Zunächst einmal unsere Definition der Lebesgue Messbarkeit:
A [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt Lebesgue messbar, wenn für jede Menge X [mm] \subset \IR^n [/mm] gilt: [mm] \mu^\*(X) [/mm] = [mm] \mu^\*(X \cap [/mm] A) + [mm] \mu^\*(X [/mm] \ A).
Dabei ist [mm] \mu^\* [/mm] das äußere Lebesguesche Maß mit:
[mm] \mu^\*(A) [/mm] := inf { [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \mu(Q_i) [/mm] | [mm] Q_i [/mm] disjunkte halboffene Quader, A [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} Q_i [/mm] } und [mm] \mu [/mm] ist das Produkt der Kantenlängen eines Quaders.
Ich muss also zeigen:
Sei X [mm] \subset \IR [/mm] beliebig. Dann soll gelten: [mm] \mu^\*(X) [/mm] = [mm] \mu^\*(X \cap [/mm] M) + [mm] \mu^\*(X [/mm] \ M).
In X [mm] \cap [/mm] M sind ja nur Zahlen enthalten, deren Dezimaldarstellung keine 7 enthält. In X \ M wiederrum sind nur Zahlen enthalten, deren Dezimaldarstellung eine 7 enthält.
Wie kann ich nun weiter argumentieren? Kann mir da jemand einen Tipp geben? Wäre sehr nett.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 21.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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