Legendre-Symbol < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:49 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] n^{2}-n+41 \in \IP [/mm] für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] mit n [mm] \le [/mm] 40 ist! (Tipp: Zeigen Sie, dass -163 ein quadratischer Nicht-Rest modulo aller Primzahlen p [mm] \in \IP [/mm] mit p<41 ist! Betrachten Sie dann das Polynom [mm] f(n):=4n^{2}-4n+4*41.) [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme bei obiger Aufgabe. Ich kann natürlich für jede Primzahl < 41 zeigen, dass das Legendre-Symbol (-163/p) -1 ist, dass es sich bei -163 also um einen quadratischen Nichtrest modulo p handelt. Aber was hat denn das -163 mit der Aufgabenstellung zu tun, also wie komm ich dann anschließend darauf, dass [mm] n^{2}-n+41 [/mm] für alle n [mm] \le [/mm] 40 eine Primzahl ist??
Vielen Dank!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Fr 12.06.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Zeigen Sie, dass [mm]n^{2}-n+41 \in \IP[/mm] für alle n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> mit n [mm]\le[/mm] 40 ist! (Tipp: Zeigen Sie, dass -163 ein
> quadratischer Nicht-Rest modulo aller Primzahlen p [mm]\in \IP[/mm]
> mit p<41 ist! Betrachten Sie dann das Polynom
> [mm]f(n):=4n^{2}-4n+4*41.)[/mm]
> Aber was hat denn
> das -163 mit der Aufgabenstellung zu tun, also wie komm ich
> dann anschließend darauf, dass [mm]n^{2}-n+41[/mm] für alle n [mm]\le[/mm] 40
> eine Primzahl ist??
Ich denke, das hängt damit zusammen, daß -163 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4 ist und weiter [mm] 4n^{2}-4n+4*41 \equiv [/mm] (2n + [mm] 1)^2 [/mm] mod 163 ist, also ein quadratischer Rest ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Leni-H |
Hm, das verstehe ich noch nicht so ganz. Also ich zeige jetzt, dass fü alle Primzahlen p < 41 gilt, dass -163 ein quadratischer Nicht-Rest modulo p ist. Aber was kann ich mit diesen quadratischen Nicht-Resten dann anfangen? ich weiß nur, dass das bedeutet, dass die Kongruenz [mm] x^{2} \equiv [/mm] -163 (mod p) nicht lösbar ist für alle p.
Aber was hat es denn dann mit dem Polynom auf sich?
Danke für eure Bemühungen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Fr 12.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hm, das verstehe ich noch nicht so ganz. Also ich zeige
> jetzt, dass fü alle Primzahlen p < 41 gilt, dass -163 ein
> quadratischer Nicht-Rest modulo p ist. Aber was kann ich
> mit diesen quadratischen Nicht-Resten dann anfangen? ich
> weiß nur, dass das bedeutet, dass die Kongruenz [mm]x^{2} \equiv[/mm]
> -163 (mod p) nicht lösbar ist für alle p.
Hallo,
es ist [mm] -163\equiv1 [/mm] mod 41. Und 1 ist doch eigentlich ein quadratischer Rest?
Vielleicht liegt in diesem Widerspruch die Lösung?
Gruß Abakus
> Aber was hat es denn dann mit dem Polynom auf sich?
>
> Danke für eure Bemühungen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 14.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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