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| Aufgabe | Beweisen Sie das folgende Lemma mit Hilfe der Signaturformel von Leibniz.
Lemma. Seien R ein kommutativer Ring mit Eins, n [mm] \in \IN, \lambda \in [/mm] R, [mm] A_{12} \in R^{1,n} [/mm] und [mm] A_{22} \in R^{n,n}. [/mm] Dann gilt
det ( [mm] \pmat{ \lambda & A_{12} \\ 0_{n,1} & A_{22} } [/mm] ) = [mm] \lambda [/mm] det ( [mm] A_{22} [/mm] )
Folgern Sie, dass mit den gleichen Voraussetzungen (und [mm] A_{21} \in R^{n,1}) [/mm] auch gilt
det ( [mm] \pmat{ \lambda & 0_{1,n} \\ A_{21} & A_{22} } [/mm] ) = [mm] \lambda [/mm] det ( [mm] A_{22} [/mm] ) |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo =),
eigentlich ist es ganz klar, dass das gelten muss, aber mit dem Beweis tue ich mich schwer.
Erst einmal die Definition der Leibnizformel: det: [mm] R^{n,n} [/mm] -> R , A = [mm] [a_{ij}] \mapsto [/mm] det(A) := [mm] \summe_{\partial \in S_{n} }^{} [/mm] sgn ( [mm] \partial [/mm] ) [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i,\partial(i)} [/mm]
So nun ist ja für n=2, was ja in diesem Fall der Fall ist, da beide Matrizen quadratische 2 x 2 Matrizen sind:
det (C) = det ( [mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & A_{22} } [/mm] ) = sgn([12]) * [mm] c_{11} [/mm] * [mm] c_{22} [/mm] + sgn([21]) * [mm] c_{12} [/mm] * [mm] c_{21} [/mm] = [mm] c_{11} [/mm] * [mm] c_{22} [/mm] - [mm] c_{12} [/mm] * [mm] c_{21}
[/mm]
Also: det(C) = det ( [mm] \pmat{ \lambda & A_{12} \\ 0_{n,1} & A_{22} } [/mm] ) = det ( [mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & A_{22} } [/mm] ) = [mm] c_{11} [/mm] * [mm] c_{22} [/mm] - [mm] c_{12} [/mm] * [mm] c_{21} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] A_{22} [/mm] - [mm] A_{12} [/mm] * [mm] 0_{n,1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] A_{22}
[/mm]
und det(C) = det ( [mm] \pmat{ \lambda & 0_{1,n} \\ A_{21} & A_{22} } [/mm] ) = det ( [mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & A_{22} } [/mm] ) = [mm] c_{11} [/mm] * [mm] c_{22} [/mm] - [mm] c_{12} [/mm] * [mm] c_{21} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] A_{22} [/mm] - [mm] 0_{1,n} [/mm] * [mm] A_{21} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] A_{22}
[/mm]
Das kann aber nicht stimmen, da [mm] \lambda [/mm] * [mm] A_{22} [/mm] eine Matrix der Größe n x n wäre und die Determinante ist ein Wert.
Das waren bisher meine Ansätze. Ich hoffe auf Tipps.
Liebe Grüße
Milchschelle
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Ich habe oben einen Fehler natürlich ist C = [mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} } [/mm] und nicht [mm] \pmat{ c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & A_{22} }
[/mm]
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Hallo Milchschelle,
ganz kurz: überleg mal, was die Leibnizsche Formel liefert, wenn man statt der Determinante der Originalmatrix diejenige der Transponierten berechnet.
Grüße
reverend
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Naja wenn man mit der Leibnizformel nicht die Determinante der Originalmatrix sondern die Determinante der Transponierten berechnen will, dann kommt das gleiche raus, also ist es auf jeden Fall klar, dass det ( [mm] \pmat{ \lambda & A_{12} \\ 0_{n,1} & A_{22} } [/mm] ) = det ( [mm] \pmat{ \lambda & 0_{1,n} \\ A_{21} & A_{22} } [/mm] ) , aber das erklärt ja nun trotzdem nicht, warum das gleich [mm] \lambda [/mm] * det ( [mm] A_{22} [/mm] ) ist ?
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Hallo nochmal,
> Naja wenn man mit der Leibnizformel nicht die Determinante
> der Originalmatrix sondern die Determinante der
> Transponierten berechnen will, dann kommt das gleiche raus,
> also ist es auf jeden Fall klar, dass det ( [mm]\pmat{ \lambda & A_{12} \\
0_{n,1} & A_{22} }[/mm]
> ) = det ( [mm]\pmat{ \lambda & 0_{1,n} \\
A_{21} & A_{22} }[/mm] ) ,
Mehr war doch nicht zu zeigen, wenn ich die Aufgabe richtig lese. Oder übersehe ich etwas?
> aber das erklärt ja nun trotzdem nicht, warum das gleich
> [mm]\lambda[/mm] * det ( [mm]A_{22}[/mm] ) ist ?
Das ist doch als Lemma gegeben. Ansonsten ist es ebenfalls mit der Leibnizformel leicht herzuleiten. Nachschlagen kannst Du das unter "Laplace-Entwicklung".
Grüße
reverend
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Die Aufgabe lautet doch: "Beweisen Sie dass folgende Lemma." Also soll man genau das Lemma beweisen und das ist ja auch mein eigentliches Problem, dass ich eben nicht weiß, wie ich dieses Lemma beweisen kann?
Aber ich werde jetzt erstmal unter Laplace nachschlagen. Ich hab sonst schon in Büchern nachgeschlagen und viel im Internet recherchiert und eigentlich nichts wirklich Passendes gefunden. Habe bisher unter Laplace nicht geguckt, da wir das ja mit der Leibnizformel beweisen sollen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Also ich kenne ja nun den Laplace - Entwicklungssatz, habe jetzt auch noch mal nachgelesen, aber was das alles mit meiner Aufgabe konkret und vor allem mit der Leibnizformel zu tun haben soll, das weiß ich nicht.
Du meintest , dass es so leicht wäre mit der Leibnizformel nachzuweisen, könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wie ich das konkret tun kann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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