Lemma von Gauß < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Do 23.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Lemma von Gauß. In dem Satz spielt die Menge der absolut kleinen Reste eine Rolle und die Anzahl negativer Zahlen in einer bestimmten Menge. Nun habe ich probiert mir diese Mengen vorzustellen, jedoch kann ich zwei Beispiele nicht vollkommen nachvollziehen.
LEMMA VON GAUß :
Sei [mm] R_p = \{ 1, ... , p-1 \} [/mm] und sei [mm] S_p = \{ - \bruch{p-1}{2} , ... , -1, 1, ... , \bruch{p-1}{2} \} [/mm] die Menge der absolut kleinsten Reste.
Sei [mm] a \in \mathbb Z [/mm] mit [mm] p \nshortmid a[/mm] und [mm] (a)_p [/mm] der Vertreter von a in [mm] S_p [/mm].
Sei [mm] \mu_p (a) := [/mm] Anzahl neg. Zahlen in [mm] \{ (a)_p , (2a)_p, ... , ( \bruch{1-p}{2} )_p \} [/mm].
Es gilt:
[mm] ( \bruch{a}{p} ) = (-1)^{\mu_p (a) } [/mm]
So, und nun habe ich in der Vorlesung 2 Beispiele , die ich beide nunr bis zu einem Punkt nachvollziehen kann. Es ist immer eine Sache, die ich nicht verstehe:
1. Beispiel:
[mm] p = 7, a = 2 [/mm]
Dann ist [mm] \mu_7 (2) := 2 [/mm]
Warum ist die Anzahl 2 ?
So, ich habe das versucht nachzurechnen:
Die postitiven Elemente aus [mm] S_7 [/mm] sind doch [mm] \{ 1 \cdot 2, 2 \cdot 2 , 3 \cdot 2 \} = \{ 2, 4, 6 \} [/mm]
Diese muss ich nun modulo 7 nehmen und dann kommt bei mir:
[mm] 2 \mod 7 = 2 [/mm]
[mm] 4 \mod 7 = 4 [/mm]
[mm] 6 \mod 7 = 6 [/mm]
Es soll aber:
[mm] 2 \mod 7 = 2 [/mm]
[mm] 4 \mod 7 = -3 [/mm]
[mm] 6 \mod 7 = -1 [/mm]
herauskommen...
Warum ist das so?
Dann könnte doch auch
[mm] 2 \mod 7 = -5 [/mm] sein und somit hätten wir anstatt 2, 3 Elemente...
Ich hoffe, dass mir jemand bei dieser Frage helfen kann...
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen!
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> Ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Lemma von Gauß. In
> dem Satz spielt die Menge der absolut kleinen Reste eine
> Rolle und die Anzahl negativer Zahlen in einer bestimmten
> Menge. Nun habe ich probiert mir diese Mengen vorzustellen,
> jedoch kann ich zwei Beispiele nicht vollkommen
> nachvollziehen.
>
> LEMMA VON GAUß :
>
> Sei [mm]R_p = \{ 1, ... , p-1 \}[/mm] und sei [mm]S_p = \{ - \bruch{p-1}{2} , ... , -1, 1, ... , \bruch{p-1}{2} \}[/mm]
> die Menge der absolut kleinsten Reste.
>
> Sei [mm]a \in \mathbb Z[/mm] mit [mm]p \nshortmid a[/mm] und [mm](a)_p[/mm] der
> Vertreter von a in [mm]S_p [/mm].
>
> Sei [mm]\mu_p (a) := [/mm] Anzahl neg. Zahlen in [mm]\{ (a)_p , (2a)_p, ... , ( \bruch{1-p}{2} )_p \} [/mm].
>
> Es gilt:
>
> [mm]( \bruch{a}{p} ) = (-1)^{\mu_p (a) }[/mm]
>
>
> So, und nun habe ich in der Vorlesung 2 Beispiele , die ich
> beide nunr bis zu einem Punkt nachvollziehen kann. Es ist
> immer eine Sache, die ich nicht verstehe:
>
> 1. Beispiel:
>
> [mm]p = 7, a = 2[/mm]
>
> Dann ist [mm]\mu_7 (2) := 2[/mm]
> Warum ist die Anzahl 2 ?
>
> So, ich habe das versucht nachzurechnen:
>
> Die postitiven Elemente aus [mm]S_7[/mm] sind doch [mm]\{ 1 \cdot 2, 2 \cdot 2 , 3 \cdot 2 \} = \{ 2, 4, 6 \}[/mm]
>
> Diese muss ich nun modulo 7 nehmen und dann kommt bei mir:
>
> [mm]2 \mod 7 = 2 [/mm]
>
> [mm]4 \mod 7 = 4[/mm]
>
> [mm]6 \mod 7 = 6[/mm]
>
> Es soll aber:
>
> [mm]2 \mod 7 = 2[/mm]
>
> [mm]4 \mod 7 = -3[/mm]
>
> [mm]6 \mod 7 = -1[/mm]
>
> herauskommen...
>
> Warum ist das so?
>
> Dann könnte doch auch
>
> [mm]2 \mod 7 = -5[/mm] sein und somit hätten wir anstatt 2, 3
> Elemente...
E geht um ABSOLUT KLEINSTE Reste. Die Zahl 2 hat den Absolutbetrag 2, die Zahl -5 hat den Absolutbetrag 5. Also ist -5 nicht der absolut kleinste Rest, weil es ja einen anderen dazu äquivalenten Rest mit einem kleineren Betrag gibt.
Gruß Abakus
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> Ich hoffe, dass mir jemand bei dieser Frage helfen kann...
>
> Vielen Dank!
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> Viele Grüße
> Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Do 23.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Super, vielen Dank!!!!
Viele Grüße
Irmchen
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