Leseverhalten von Jugendlichen < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Sa 07.12.2013 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ein Skeptiker meint, dass der Anteil der Jugendlichen, die regelmäßig Bücher lesen, abgenommen hat. Er testet deswegen die Hypothese
[mm] H_0 [/mm] : Der Anteil der Jugendlichen, die regelm. lesen, beträgt (weiterhin) mindestens 40%; d.h. p [mm] \ge [/mm] 0,4.
Es wird daher ein Test durchgeführt, in dem 500 Jugendliche zu ihrem Leseverhalten befragt werden.
Ferner soll das Signifikanzniveau bei 7,5 % liegen; d.h. [mm] \alpha [/mm] = 0,075.
a) Berechne den Fehler 2. Art, wenn der tatsächliche Anteil 35% beträgt.
b) Wie groß ist der Fehler 1. Art? |
Moin Moin,
ich habe da irgendwo einen Knoten...
a) Ich berechne zunächst [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma.
[/mm]
[mm] \mu [/mm] = 200 [mm] \sigma [/mm] = 10,95.
Ferner zählt X die Anzahl der Jugendlichen, die regelm. Bücher lesen.
X ist binomialverteilt mit [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma. [/mm]
Dann würde ich das Problem gerne über die Normalverteilung lösen.
[Annäherung über NV; die Laplacebedingung ist erfüllt.]
Ein Fehler 2. Art passiert dann, wenn ich eine an sich falsche Hypothese irrtümlich annehme.
P (X > k) = 1 - [mm] \alpha [/mm]
bzw. 1 - P (X [mm] \le [/mm] k) = 0,925
P(X [mm] \le [/mm] k) = 0,075
[mm] \phi(\bruch{k +0,5 -200}{10,95}) [/mm] = 0,075
=> | [mm] \bruch{k +0,5 -200}{10,95} [/mm] | = 1,44
[mm] \bruch{-k -0,5 +200}{10,95} [/mm] = 1,44
- k = - 183,73
k = 183
Annahmebereich [184; 500]
Für die Berechnung des [mm] \beta-Fehlers [/mm] lege ich den ermittelten Annahmebereich zugrunde, ferner muss ich [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] neu berechnen...
[mm] \mu_1 [/mm] = 175 und [mm] \sigma_1 [/mm] = 10,67.
[mm] \beta [/mm] = P(X > 183) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] 183)
= [mm] \phi(\bruch{183+0,5 - 175}{10,67} [/mm] = [mm] \phi(0,80) [/mm]
= 78,81 %
Ist das richtig? Der [mm] \beta-Fehler [/mm] ist ziemlich hoch?!?
zu b)
Im Prinzip würde ich ja denken, dass der [mm] \alpha-Fehler [/mm] gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau ist.
Man müsste den Fehler 1. Art aber doch auch berechnen können, oder?
Eine an sich richtige Hypothese wird irrtümlich abgelehnt.
D.h. ich betrachte den Ablehnungsbereich...
P(X [mm] \le [/mm] 183) = [mm] \phi(\bruch{183+0,5-200}{10,95})
[/mm]
= [mm] \phi(-1,51) [/mm] = 1 - [mm] \phi(1,51) [/mm] = 1 - 0,93448
= 0,06552.
Ist das richtig?
Danke & Gruß!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 09.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Mo 09.12.2013 | | Autor: | hase-hh |
Wie sieht's aus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie sieht's aus?
ich nehme wegen der Rückfrage mal an, dass Du an einer Antwort noch
interessiert bist - daher habe ich mal die Frage wieder als offene Frage
deklariert.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Mo 09.12.2013 | | Autor: | hase-hh |
Hallo Marcel,
stimmt!
Vielen Dank, allerdings finde ich meine Frage nicht unter offene Fragen -> da wo sie sein sollte, oder! ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> stimmt!
>
>
> Vielen Dank, allerdings finde ich meine Frage nicht unter
> offene Fragen -> da wo sie sein sollte, oder! ^^
ja, jetzt sollte es aber passen. Ich habe sie mal um 2 Tage verlängert
(eben hatte ich keinen Zeitraum angegeben, vielleicht geht es dann nur
um 1 Stunde... weiß ich gerade nicht).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mo 09.12.2013 | | Autor: | luis52 |
Der kritische Bereich ist [0,183], also das Komplement von deinem
Annahmebereich [184,500]. Somit ist deine Rechnung zu b) richtig, das
nominelle Signifikanz 0.075 unterscheidet sich von dem tatsaechlichen
0.065. Der Wert 0.075 kann nicht ohne Weiteres realisiert werden, da $X$ diskret verteilt ist.
Die Fragestellung bei a) ist Quatsch, der Fehler 2. Art ist keine Zahl sondern eine Handlung unter bestimmten Bedingungen. Wohl kann man die Wahrscheinlichkeit dafuer berechnen, den Fehler 2. Art zu begehen. Er wird begangen, wenn [mm] $(X\ge [/mm] 184)$ eintritt, tatsaechlich aber gilt $p<0.4$. Die Wahrscheinlichkeit fuer den Fehler 2. Art, wenn gilt $p=0.35$, ist dann gegeben durch [mm] $P(X\ge184)= [/mm] 0.2122$. (In deiner Rechnung ist dir anscheinend ein $1-$ verlustig gegangen.)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mo 09.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Ein Skeptiker meint, dass der Anteil der Jugendlichen, die
> regelmäßig Bücher lesen, abgenommen hat. Er testet
> deswegen die Hypothese
>
> [mm]H_0[/mm] : Der Anteil der Jugendlichen, die regelm. lesen,
> beträgt (weiterhin) mindestens 40%; d.h. p [mm]\ge[/mm] 0,4.
>
> Es wird daher ein Test durchgeführt, in dem 500
> Jugendliche zu ihrem Leseverhalten befragt werden.
>
> Ferner soll das Signifikanzniveau bei 7,5 % liegen; d.h.
> [mm]\alpha[/mm] = 0,075.
>
> a) Berechne den Fehler 2. Art, wenn der tatsächliche
> Anteil 35% beträgt.
>
> b) Wie groß ist der Fehler 1. Art?
>
> Moin Moin,
>
> ich habe da irgendwo einen Knoten...
>
> a) Ich berechne zunächst [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma.[/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] = 200 [mm]\sigma[/mm] = 10,95.
>
>
> Ferner zählt X die Anzahl der Jugendlichen, die regelm.
> Bücher lesen.
> X ist binomialverteilt mit [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma.[/mm]
>
>
> Dann würde ich das Problem gerne über die
> Normalverteilung lösen.
> [Annäherung über NV; die Laplacebedingung ist erfüllt.]
>
> Ein Fehler 2. Art passiert dann, wenn ich eine an sich
> falsche Hypothese irrtümlich annehme.
>
> P (X > k) = 1 - [mm]\alpha[/mm]
>
> bzw. 1 - P (X [mm]\le[/mm] k) = 0,925
>
> P(X [mm]\le[/mm] k) = 0,075
>
> [mm]\phi(\bruch{k +0,5 -200}{10,95})[/mm] = 0,075
>
> => | [mm]\bruch{k +0,5 -200}{10,95}[/mm] | = 1,44
>
>
> [mm]\bruch{-k -0,5 +200}{10,95}[/mm] = 1,44
>
> - k = - 183,73
>
> k = 183
>
> Annahmebereich [184; 500]
>
>
> Für die Berechnung des [mm]\beta-Fehlers[/mm] lege ich den
> ermittelten Annahmebereich zugrunde, ferner muss ich [mm]\mu[/mm]
> und [mm]\sigma[/mm] neu berechnen...
>
> [mm]\mu_1[/mm] = 175 und [mm]\sigma_1[/mm] = 10,67.
>
>
> [mm]\beta[/mm] = P(X > 183) = 1 - P(X [mm]\le[/mm] 183)
>
> = [mm]\phi(\bruch{183+0,5 - 175}{10,67}[/mm] = [mm]\phi(0,80)[/mm]
>
> = 78,81 %
>
>
> Ist das richtig? Der [mm]\beta-Fehler[/mm] ist ziemlich hoch?!?
>
>
>
> zu b)
>
> Im Prinzip würde ich ja denken, dass der [mm]\alpha-Fehler[/mm]
> gleich dem vorgegebenen Signifikanzniveau ist.
>
> Man müsste den Fehler 1. Art aber doch auch berechnen
> können, oder?
>
>
> Eine an sich richtige Hypothese wird irrtümlich abgelehnt.
>
> D.h. ich betrachte den Ablehnungsbereich...
>
> P(X [mm]\le[/mm] 183) = [mm]\phi(\bruch{183+0,5-200}{10,95})[/mm]
>
> = [mm]\phi(-1,51)[/mm] = 1 - [mm]\phi(1,51)[/mm] = 1 - 0,93448
>
> = 0,06552.
>
>
> Ist das richtig?
>
>
> Danke & Gruß!!!
>
>
Hallo HaseHH,
ich habe deine Aufgabe mit Excel getestet.
Dazu habe ich A bis A50 mit den Trefferzahlen 0 bis 500 gefüllt,
in B den Ausdruck
=BINOMVERT(A1;500;0,4;1)
eingetippt und diese Formel bis B501 runterkopiert.
Der aufsummierte Wert 0,075 wird tatsächlich zwischen 183 und 184 überschritten, der Annahmebreich von H0 beginnt also bei 184.
Wenn die Lesewahrscheinlichkeit nur 0,35 beträgt (in allen Formeln in Spalte B muss 0,4 durch 0,35 ersetzt werden), dann werden die Stichprobenwerte 0 bis 183 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7877 angenommen.
Höhere Trefferzahlen (184 oder mehr) treten demzufolge mit 1-0,7877=0,2123 auf.
Hier hast du wohl vergessen, 1-... zu rechnen.
Gruß Abakus
|
|
|
|
