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| Aufgabe | Bestimmen sie die letzten drei Ziffern in der dekadischen darstellung der folgenden zahlen
a) [mm]2^{128}-1[/mm]
b) [mm]2^{64}-1[/mm] |
erstmal zu b): ich hab mir überlegt das mit restklassen modulo 1000 zu bestimmen. klappt aber irgendwie nicht. vielleicht kann mir jemand zeigen wo ich einen fehler gemacht habe.
dazu: [mm] [2^{125}]_{125}=[?] [/mm]
ich kann euler-fermat anwenden, weil gilt ggt(2,125)=1
=>[mm] 2^{\varphi(125)} \equiv 1 mod 125 [/mm]
[mm]\varphi(125)=100[/mm]
=> [mm]2^{100} \equiv 1 mod 125[/mm]
=> [mm]125|2^{100}-1[/mm]
=> [mm][2^{100}]_{125}=[1]_{125}[/mm]
jetzt wollte ich versuchen [mm][2^{61}]_{125}[/mm] anders darzustellen und dabei die vorangegangenen umformungen nutzen:
[mm][2^{61}]_{125}=[2^{100-39}]_{125}[/mm]
[mm]=[2^{100}*2^{-39}}]_{125}[/mm]
[mm]=[2^{100}]_{125}*[2^{-39}]_{125}[/mm]
[mm]=[1]_{125}*[2^{-39}]_{125}[/mm]
[mm]=[2^{-39}]_{125}[/mm]
=> [mm]125|2^{61}-2^{-39}[/mm]
=> [mm]2^{61}=125*m+2^{-39}, m \in \IZ[/mm] mit [mm] 2^3 [/mm] multiplizieren
=> [mm]2^{64}=1000m+2^{-36}[/mm]
=> [mm]2^{64}-1=1000m+2^{-36}-1[/mm]
Ziel war jetzt, dass eine dreistellige zahl modulo 1000 übrig bleibt. das wären dann meine letzten 3 ziffern der zahl [mm]2^{64}-1[/mm] .
Vielleicht hat ja einer ne idee wo ich nen fehler gemacht hab, oder auch nen ganz anderen lösungsansatz.
Würd mich über antworten freuen!
Schöne Grüße,
grafzahl123
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Hallo grafzahl,
da hast Du einen Denkfehler drin.
> Bestimmen sie die letzten drei Ziffern in der dekadischen
> darstellung der folgenden zahlen
> a) [mm]2^{128}-1[/mm]
> b) [mm]2^{64}-1[/mm]
> erstmal zu b): ich hab mir überlegt das mit restklassen
> modulo 1000 zu bestimmen.
Völlig richtige Idee.
> klappt aber irgendwie nicht.
> vielleicht kann mir jemand zeigen wo ich einen fehler
> gemacht habe.
>
> dazu: [mm][2^{125}]_{125}=[?][/mm]
> ich kann euler-fermat anwenden, weil gilt ggt(2,125)=1
> =>[mm] 2^{\varphi(125)} \equiv 1 mod 125[/mm]
> [mm]\varphi(125)=100[/mm]
> => [mm]2^{100} \equiv 1 mod 125[/mm]
> => [mm]125|2^{100}-1[/mm]
> => [mm][2^{100}]_{125}=[1]_{125}[/mm]
Ja, schon. Ich sehe nur nicht so recht, was das jetzt bringt. Für Aufgabe a müsstest Du immer noch [mm] [2^{28}]_{125} [/mm] ermitteln und wärst auch dann ja noch nicht beim Ergebnis [mm] \mod{1000}.
[/mm]
> jetzt wollte ich versuchen [mm][2^{61}]_{125}[/mm] anders
> darzustellen und dabei die vorangegangenen umformungen
> nutzen:
> [mm][2^{61}]_{125}=[2^{100-39}]_{125}[/mm]
> [mm]=[2^{100}*2^{-39}}]_{125}[/mm]
> [mm]=[2^{100}]_{125}*[2^{-39}]_{125}[/mm]
> [mm]=[1]_{125}*[2^{-39}]_{125}[/mm]
> [mm]=[2^{-39}]_{125}[/mm]
> => [mm]125|2^{61}-2^{-39}[/mm]
> => [mm]2^{61}=125*m+2^{-39}, m \in \IZ[/mm] mit [mm]2^3[/mm] multiplizieren
> => [mm]2^{64}=1000m+2^{-36}[/mm]
> => [mm]2^{64}-1=1000m+2^{-36}-1[/mm]
>
> Ziel war jetzt, dass eine dreistellige zahl modulo 1000
> übrig bleibt. das wären dann meine letzten 3 ziffern der
> zahl [mm]2^{64}-1[/mm] .
Dazu musst Du aber noch klären, was [mm] [2^{-39}]_{125} [/mm] ist. Du wirst feststellen, dass Du dazu [mm] [63^{39}]_{125} [/mm] berechnen musst, was keine Arbeitsersparnis ist.
> Vielleicht hat ja einer ne idee wo ich nen fehler gemacht
> hab, oder auch nen ganz anderen lösungsansatz.
> Würd mich über antworten freuen!
Hier sieht es doch ganz so aus, als ob man mit "square and multiply" am schnellsten fertig würde, zumal das Multiplizieren auch noch entfällt.
Also direkt [mm] \mod{1000} [/mm] losrechnen:
[mm] 2^2\equiv[4]_{1000}
[/mm]
[mm] 2^{2^2}\equiv[4]^2\equiv[16]
[/mm]
[mm] 2^{2^3}\equiv[16]^2\equiv[256]
[/mm]
[mm] 2^{2^4}\equiv[256]^2\equiv[536]
[/mm]
[mm] 2^{2^5}\equiv[536]^2\equiv[296]
[/mm]
[mm] 2^{2^6}\equiv[296]^2\equiv[616]\blue{\equiv 2^{64}}
[/mm]
[mm] 2^{2^7}\equiv[616]^2\equiv[456]\blue{\equiv 2^{128}}
[/mm]
Grüße
reverend
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