Letzten Ziffern von 2011^2012 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme die letzten drei Ziffern von [mm] 2011^{2012}. [/mm] |
Hi,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?? Komme gerade auf keine gute Idee.
Sicherlich muss man das mit dem satz von Euler-Fermat machen, aber dazu muss man ja estmal 2011 geschickt zerlegen, oder???
Grüße
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Hallo Steve,
> Bestimme die letzten drei Ziffern von [mm]2011^{2012}.[/mm]
> Hi,
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> kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?? Komme gerade
> auf keine gute Idee.
>
> Sicherlich muss man das mit dem satz von Euler-Fermat
> machen, aber dazu muss man ja estmal 2011 geschickt
> zerlegen, oder???
Vorab: 2011 ist prim, [mm] 2012=2^2*503.
[/mm]
Du sollst die letzten drei Ziffern bestimmen - ich nehme an, im Dezimalsystem. Dann ist folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] x\equiv 2011^{2012}\mod{1000}
[/mm]
Und in der Tat ist Euler-Fermat sinnvoll. Was ist [mm] \phi(1000) [/mm] ?
Im Endeffekt musst Du nur noch [mm] (11^3)^4 \mod{1000} [/mm] bestimmen, keine langwierige Aufgabe. Du musst nur erst den Weg bis hierhin und dann den kleinen Endspurt bewältigen.
Grüße
reverend
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Hi,
so ganz komme ich noch nicht weiter....
> Vorab: 2011 ist prim, $ [mm] 2012=2^2\cdot{}503. [/mm] $
> Du sollst die letzten drei Ziffern bestimmen - ich nehme an, im Dezimalsystem. Dann ist folgende Aufgabe zu lösen:
> $ [mm] x\equiv 2011^{2012}\mod{1000} [/mm] $
> Und in der Tat ist Euler-Fermat sinnvoll. Was ist $ [mm] \phi(1000) [/mm] $ ?
ich habe jetzt [mm] \phi(1000) [/mm] bestimmt, nähmich [mm] \phi(1000)=400
[/mm]
Wie gehe ich jetzt weiter??
Da 2011 prim ist, könnte ich zwar das hier schreiben:
[mm] 2011^{400}\equiv [/mm] 1 (mod 1000).
Aber das bringt mich ja noch nicht weiter....
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Hallo steve.joke,
> Hi,
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> so ganz komme ich noch nicht weiter....
>
> > Vorab: 2011 ist prim, [mm]2012=2^2\cdot{}503.[/mm]
>
> > Du sollst die letzten drei Ziffern bestimmen - ich nehme
> an, im Dezimalsystem. Dann ist folgende Aufgabe zu lösen:
>
> > [mm]x\equiv 2011^{2012}\mod{1000}[/mm]
>
> > Und in der Tat ist Euler-Fermat sinnvoll. Was ist
> [mm]\phi(1000)[/mm] ?
>
> ich habe jetzt [mm]\phi(1000)[/mm] bestimmt, nähmich
> [mm]\phi(1000)=400[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie gehe ich jetzt weiter??
>
> Da 2011 prim ist, könnte ich zwar das hier schreiben:
>
> [mm]2011^{400}\equiv[/mm] 1 (mod 1000).
>
> Aber das bringt mich ja noch nicht weiter....
Naja, schon. Du musst die Potenz 400 "hochschaukeln", bis du bei [mm]2012[/mm] bist ...
Auf 2000 kommst du zB. mit einem Rutsch: [mm]2000=400\cdot{}5[/mm]
Also [mm]2011^{2000}=2011^{400\cdot{}5}=\left(2011^{400}\right)^5 \ \equiv \ 1^5=1 \ \operatorname{mod}(1000)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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hi,
ja ok, aber wenn ich das jetzt mit [mm] 2011^{12} [/mm] addiere, ist es ja immer noch nicht so einfach aufzulösen, da man [mm] 2011^{12} [/mm] nicht so einfach bestimmen kann.
> Also $ [mm] 2011^{2000}=2011^{400\cdot{}5}=\left(2011^{400}\right)^5 [/mm] \ [mm] \equiv [/mm] \ [mm] 1^5=1 [/mm] \ [mm] \operatorname{mod}(1000) [/mm] $
und dann
[mm] 2011^{2000}+2011^{12}=2011^{2012} \equiv [/mm] 1+ [mm] 2011^{12} \operatorname{mod}(1000)???
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Do 23.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Na, das ist aber kein Potenzgesetz!
[mm] 2011^{2012}=2011^{2000}*2011^{12}=(2011^{400})^5*2011^{12}\equiv 1^5*2011^{12}\equiv 1*2011^{12} [/mm] mod 1000.
Nun kannst du aber auch noch innerhalb der Potenz modulo 1000 rechnen, daher musst du nur noch [mm] 11^{12} [/mm] mod 1000 bestimmen.
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oh ja, sorry. da hatte ich mich verschrieben.
wie kommt man aber auf die [mm] 11^{12} [/mm] (mod 1000)?? und wie bestimme ich das dann?
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Hallo Steve,
da haben wir uns überschnitten. Die Antwort steht in der Mitteilung, die ich offenbar gleichzeitig mit Deiner Frage geschrieben habe, als Ergänzung zu Teufels Anwort.
Übrigens geht auch [mm] 331^4 [/mm] leicht auf dem Papier.
Man nehme [mm] 331^2, [/mm] behalte davon nur die letzten drei Ziffern (561) und nehme davon wieder das Quadrat: 314.721. Und davon wieder nur die letzten drei Ziffern ... fertig.
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Do 23.06.2011 | | Autor: | reverend |
Nebenbei:
[mm] 2011^{12}=4.374.665.459.579.484.792.037.003.786.873.187.040.721
[/mm]
...aber so schwer muss man es sich ja gar nicht machen.
Da [mm] 2011\equiv 11\mod{1000}, [/mm] gilt ja auch [mm] 2011^{12}\equiv 11^12\mod{1000}
[/mm]
Und weil das auf einem Taschenrechner immer noch ungemütlich ist, habe ich schon anfangs vorgeschlagen:
[mm] \left(11^3\right)^4\mod{1000} (\equiv 331^4)
[/mm]
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Do 23.06.2011 | | Autor: | steve.joke |
Danke euch!!
grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Do 23.06.2011 | | Autor: | reverend |
> Danke euch!!
>
> grüße
Gern geschehen.
Irgendwie bin ich sicher, dass der Prof nächstes Jahr eine andere Aufgabe stellt, die das Ergebnis 072 hat. 
Ciao,
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Do 23.06.2011 | | Autor: | steve.joke |
hehhee, gut möglich
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