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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Livia |
| Aufgabe | An einer Strasse wird die Anzahl der innerhalb von 5 Minuten vorbeifahrenden PKWs ermittelt. Die entstandene Messreihe soll als Realisierung von unabhängigen, identisch Poi(λ)-verteilten Zufallsvariablen X1, ... ,Xn mit unbekannten Parameter λ>0 aufgefasst werden.
Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert für den Parameter λ zur Messreihe 4; 9; 7; 3; 8; 12; 7; 9; 7; 10; 6; 8. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe hier diese Aufgabe, allerdings leider nicht wirklich eine Ahnung wie ich diese Lösen kann. Folgende Formeln hab ich gefunden (schreib das erste mal Formeln so auf).
f1(x)= λ^xi/x!*e^-λ
L(λ;x1,....,xn)= (n Summenzeichen i=1) f1(xi)
Wie gehe ich nun weiter vor um den Maximum-Likelihood-Schätzwert zu bestimmen? Ich habe schon 2 Seiten gerechnet, wo am Ende 207,05 herauskam. Allerdings glaube ich, dass das vollkommen falsch ist.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte Lösungsansätze zu finden. Danke!
Livia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Do 29.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Livia,
zunaechst ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Daten stammen aus einer [mm] Poi($\lambda$)-Verteilung. [/mm] Der erste
beobachtete Wert ist 4. Wie gross ist die Wsk, dass wir 4 beobachten?
Nach unserem Modell ist sie
[mm] $P(X_1=4)=\frac{\lambda^4}{4!}\exp[-\lambda]$
[/mm]
Bei ML fragt man, welches [mm] $\lambda$ [/mm] die Wsk maximiert, dass sich
beispielsweise 4 realisiert. Zeichne die Funktion [mm] $L(\lambda;4)$
[/mm]
einmal. Du wirst sehen, dass sie ihr Maximum in 4 hat. Also wuerde ML 4
als "plausiblen" Schaetzwert fuer [mm] $\lambda$ [/mm] ergeben.
Schauen wir einmal auf die ersten beiden Werte: 4 und 9. Wir fragen
wieder, wie gross ist die Wsk ist, dass wir 4 und 9 beobachten.
Nach unserem Modell ist sie
[mm] $P(X_1=4,X_2=9)=\frac{\lambda^4}{4!}\exp[-\lambda]\times\frac{\lambda^9}{9!}\exp[-\lambda]$
[/mm]
Zeichne die Funktion [mm] $L(\lambda;4)$ [/mm] einmal. Du wirst sehen, dass sie
ihr Maximum in (9+4)/2=6.5 hat. Also wuerde ML 6.5 als "plausiblen"
Schaetzwert fuer [mm] $\lambda$ [/mm] ergeben.
Du erkennst nun hoffentlich das Prinzip. Wenn du die Beobachtungen
[mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] hast, so ist [mm] $L(\lambda;x_1,....,x_n)=P_\lambda(x_1)...P_\lambda(x_n)$ [/mm] die Wsk
dafuer, dass sich diese Beobachtungen realisieren *in Abhaengigkeit*
von [mm] $\lambda$. [/mm] ML sucht den plausibelsten Wert von [mm] $\lambda$ [/mm] zu
bestimmen (most likely), naemlich den Wert, der [mm] $L(\lambda;x_1,....,x_n)$
[/mm]
maximiert.
Der Rest ist Technik. Im vorliegenden Fall ist
[mm] $L(\lambda;x_1,....,x_n)=\frac{\lambda^{x_1}}{x_1!}\exp[-\lambda]\times [/mm] ... [mm] \times\frac{\lambda^{x_n}}{x_n!}\exp[-\lambda]=\frac{\lambda^{\sum x_i}}{x_1!\times...\times x_n!}\exp[-n\lambda]$
[/mm]
Diese Funktion ist bzgl [mm] $\lambda$ [/mm] zu maximieren. Zwei Hinweise:
1) [mm] $x_1!\times...\times x_n!$ [/mm] haengt nicht von [mm] $\lambda$ [/mm] ab.
2) Der Logarithmus von [mm] $L(\lambda;x_1,....,x_n)$ [/mm] hat an derselben
Stelle wie [mm] $L(\lambda;x_1,....,x_n)$ [/mm] ein Maximum.
Wenn du korrekt arbeitest, solltest du das arithmetische Mittel [mm] $(x_1+...+x_n)/n$ [/mm] als ML-Schaetzwert erhalten.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Livia |
Danke für die Antwort, die hat mir weiter geholfen. Ich hab jetzt einfach mal das Maximum von einer beliebigen Wert λ einer Poissonverteilung ausgerechnet, wo herauskam, dass da Maximum für λ immer dem Wert von x hat.
Muss man denn eine Formel für die gesamte Messreihe haben, oder wäre das arithmetische Mittel von allen ML-Schätzwerten genau dasselbe? Bin ja nur Sozialwissenschaftlerin und keine Mathematikerin.
$ [mm] L(\lambda;x_1,....,x_n)=\frac{\lambda^{x_1}}{x_1!}\exp[-\lambda]\times [/mm] ... [mm] \times\frac{\lambda^{x_n}}{x_n!}\exp[-\lambda]=\frac{\lambda^n}{x_1!\times...\times x_n!}\exp[-n\lambda] [/mm] $
Was müsste man denn λ^n und exp-nλ als n einsetzten? Weil eine Ableitung des ersten Terms sieht sehr aufwendig aus.
lg Livia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 01.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Muss man denn eine Formel für die gesamte Messreihe haben,
> oder wäre das arithmetische Mittel von allen
> ML-Schätzwerten genau dasselbe?
Jedes Wahrscheinlichkeitsmodell muss gesondert behandelt werden, leider.
> Bin ja nur
> Sozialwissenschaftlerin und keine Mathematikerin.
Du musst nur das Ableiten beherrschen...
>
> [mm]L(\lambda;x_1,....,x_n)=\frac{\lambda^{x_1}}{x_1!}\exp[-\lambda]\times ... \times\frac{\lambda^{x_n}}{x_n!}\exp[-\lambda]=\frac{\lambda^n}{x_1!\times...\times x_n!}\exp[-n\lambda][/mm]
>
> Was müsste man denn λ^n und exp-nλ als n
> einsetzten? Weil eine Ableitung des ersten Terms sieht sehr
> aufwendig aus.
$n$ ist die Anzahl der Beobachtungen, also ein fester Wert.
Du musst also
[mm] $L(\lambda;x_1,....,x_n)=\frac{\lambda^{\sum x_i}}{x_1!\times...\times x_n!}\exp[-n\lambda]$
[/mm]
nach [mm] $\lambda$ [/mm] ableiten (habe meine erste Antwort etwas korrigiert). Das
ist einfacher, wenn du mit
[mm] $\ln L(\lambda)= \sum x_i \ln \lambda-\ln(x_1!\times...\times x_n!)-n\lambda$
[/mm]
arbeitest. Die Ableitung hiervon ist [mm] $\sum x_i/\lambda-n$. [/mm] Setzt du
diesen Ausdruck gleich Null, so findest du, dass in [mm] $\hat\lambda=\sum x_i/n$, [/mm]
also dem arithmetischen Mittel der Werte, ein Extremum liegt.
Bildest du noch die zweite Ableitung, also [mm] $-\sum x_i/\lambda^2$, [/mm] so
siehst du, dass es sich um ein Maximum handelt.
Warum mache ich das so? Ich koennte es auch konkret fuer deine Daten 4;
9; 7; 3; 8; 12; 7; 9; 7; 10; 6; 8 tun. Dann hiesse die Likelihoodfunktion
[mm] $L(\lambda)=\frac{\lambda^{90}}{4!9! 7! 3! 8! 12! 7! 9! 7! 10! 6! 8!}\exp[-12\lambda]$
[/mm]
Will ich diese Funktion maximieren, so ist die Vorgehensweise genau wie
oben. Und weil ich nicht jedes Mal einen Sonderfall bearbeiten will,
mache ich das lieber allgemein und finde eine Formel, die alle
Sonderfaelle erschlaegt. So finde ich fuer deine Daten
[mm] $\hat \lambda= [/mm] (4 +9 +7 +3 +8 +12 +7 +9 +7 +10 +6 +8)/12=7.5$.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 So 02.12.2007 | | Autor: | Livia |
Nun hab ich es verstanden, wie das funktioniert. Vielen Dank!
lg Livia
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