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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Do 04.07.2013 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | <br>
Sei [mm](A_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge von Ereignissen mit [mm]P(A_n)=p\in(0,1)[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm].
Dann gilt: [mm]P(\limsup_{n\to\infty}A_n)\ge p[/mm] |
<br>
Hallo zusammen,
ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.
Hab es so probiert
[mm]P(\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{m\ge n} A_m)=1-P(\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{m\ge n} A^{c}_m)
\ge 1-\sum_{n=1}^{\infty}P(\cap_{m\ge n}A^{c}_m)[/mm].
Habe dann versucht, die Wkeit passend abzuschätzen, aber das klappt nicht so recht.
Hat jemand eine Idee für mich?
Vielen Dank!
Gruß,
Christian
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Hallo,
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> Sei [mm](A_n)_{n\in\mathbb N}[/mm] eine Folge von Ereignissen mit
> [mm]P(A_n)=p\in(0,1)[/mm] für alle [mm]n\in\mathbb N[/mm].
> Dann gilt:
> [mm]P(\limsup_{n\to\infty}A_n)\ge p[/mm]
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> <br>
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> Hallo zusammen,
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> ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.
> Hab es so probiert
> [mm]P(\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{m\ge n} A_m)=1-P(\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{m\ge n} A^{c}_m)
\ge 1-\sum_{n=1}^{\infty}P(\cap_{m\ge n}A^{c}_m)[/mm].
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> Habe dann versucht, die Wkeit passend abzuschätzen, aber
> das klappt nicht so recht.
> Hat jemand eine Idee für mich?
Wenn du definierst [mm] $B_n [/mm] := [mm] \bigcup_{m \ge n}A_m$, [/mm] so gilt doch [mm] $B_n \supset A_n$. [/mm] Außerdem ist [mm] $B_n$ [/mm] absteigend. Mit der Stetigkeit des W-Maßes von oben:
[mm] $\IP(\limsup_{n\to\infty}A_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\IP(B_n) \ge \limsup_{n\to\infty}\IP(A_n) \ge [/mm] p$.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 04.07.2013 | | Autor: | Fry |
Hey Stefan,
vielen Dank!
Gibt es auch ne Möglichkeit dies ohne die Stetigkeit von oben zu beweisen?
Die kommt nämlich in der Stochastik-Vorlesung nicht vor.
Gruß,
Christian
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Hallo,
> Gibt es auch ne Möglichkeit dies ohne die Stetigkeit von
> oben zu beweisen?
Ich denke, dass andere Beweise letztlich auf die Stetigkeit von oben hinauslaufen (auch wenn es nicht explizit erwähnt wird).
Deswegen rate ich dir, einfach die Stetigkeit von oben zu beweisen, das ist nicht schwer:
Sei [mm] $B_n$ [/mm] absteigend (d.h. [mm] $B_{n+1} \subset B_n$).
[/mm]
Dann ist [mm] $B_n^{c}$ [/mm] aufsteigend (d.h. [mm] $B_{n}^{c} \subset B_{n+1}^{c}$).
[/mm]
Definiere [mm] $V_n [/mm] := [mm] B_{n}^{c} \backslash B_{n-1}^{c}$ $(B_{0}^{c} [/mm] := [mm] \emptyset)$
[/mm]
Zeige: [mm] $B_n^{c} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}V_k$. [/mm] (disjunkte Vereinigung)
Also auch: [mm] $\bigcup_{n\in\IN}B_n^{c} [/mm] = [mm] \sum_{k \in \IN}V_k$.
[/mm]
Damit: [mm] $\IP(\bigcup_{n\in\IN}B_n^{c}) [/mm] = [mm] \sum_{k \in \IN}\IP(V_k)$
[/mm]
Folgere daraus: [mm] $\IP(\bigcap_{n\in\IN}B_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\IP(B_n)$.
[/mm]
> Die kommt nämlich in der Stochastik-Vorlesung nicht vor.
Viele Grüße,
Stefan
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