Limes Inferior/superior < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Di 27.07.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich bereite mich gerade auf meine Stochastik Klausur vor!
Dabei stosse ich immer wieder auf die Begriffe LImes inferior bzw. superior.
Es fällt mir schwer, mir daruner ewtas vorzustellen.
Kann mir die Begriffe mal jemand verdeutlichen?
Gruss,
Wurzelpi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Di 27.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
Es sei $X$ eine Menge und [mm] $(A_n)_{n \ge 1}$ [/mm] eine Folge von Teilmengen von $X$. Dann gilt nach Definition:
[mm] $\limsup\limits_{n \to \infty} A_n [/mm] := [mm] \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k$
[/mm]
und
[mm] $\liminf\limits_{n \to \infty} A_n [/mm] := [mm] \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_k$.
[/mm]
Nun kannst du in der Mengenlehre/Maßtherie das [mm] $\bigcap$-Zeichen [/mm] über mit "für alle", und das [mm] $\bigcup$-Zeichen [/mm] immer mit "es gibt ein" übersetzen.
Dann bedeutet also
$x [mm] \in \limsup\limits_{n \to \infty} A_n$
[/mm]
das Folgende:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt es ein $k [mm] \ge [/mm] n$, so dass $x [mm] \in A_k$ [/mm] gilt. Wenn es aber doch für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine Menge [mm] $A_k$ [/mm] mit $k [mm] \ge [/mm] n$ gibt, in der $x$ liegt, dann muss doch $x$ in unendlich vielen der Mengen [mm] $A_k$ [/mm] liegen. Umgekehrt: Wenn $x$ in unendlich vielen der Mengen [mm] $A_k$ [/mm] liegt, dann gibt es für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein $k [mm] \ge [/mm] n$, so dass $x [mm] \in A_k$ [/mm] gilt.
Daraus folgt:
[mm] $\limsup\limits_{n \to \infty} A_n [/mm] = [mm] \{x \in X\, : \, x \in A_n \ \mbox{für unendlich viele} \ n \in \IN\}$.
[/mm]
Weiterhin bedeutet
$x [mm] \in \liminf\limits_{n \to \infty} A_n$
[/mm]
mit der obigen Intepretation das Folgende:
Es gibt ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle $k [mm] \ge [/mm] n$ gilt: $x [mm] \in A_k$. [/mm] Wenn es aber nun ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, so dass $x$ in allen [mm] $A_k$ [/mm] mit $k [mm] \ge [/mm] n$ drinnen liegt, dann muss doch $x$ in fast allen (also allen bis auf endlich vielen, nämlich eventuell (!) nicht in [mm] $A_1,\ldots,A_{n-1}$) [/mm] der Mengen [mm] $A_k$ [/mm] liegen. Umgekehrt: Wenn $x$ in fast allen (also allen bis auf endlich vielen) Mengen [mm] $A_k$ [/mm] liegt, dann gibt es ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] so dass $x [mm] \in A_k$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] n$ gilt.
Daraus folgt:
[mm] $\liminf\limits_{n \to \infty} A_n [/mm] = [mm] \{x \in X\, : \, x \in A_n \ \mbox{für fast alle} \ n \in \IN\}$.
[/mm]
Jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Di 27.07.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Julius!
Deine Ausführungen haben mir schon enorm weiter geholfen!
Ich versuch es kurz noch einmal selber zu formulieren:
Sowohl beim Limes Superior als auch beim Limes Inferior betrachtet man also bestimmte Elementarereignisse.
Diese sind gewöhnlich auch in den verschiedesten Ereignissen enthalten.
Also betrachtet man gleich eine Folge von Ereignissen.
Liegt ein Elementarereignis in der Menge des Limes Superior, so weiss ich, dass mein Elementarereignis auch in allen anderen, also in unendlich vielen der Ereignissen vertreten ist.
Liegt ein Elementarereignis in der Menge des Limes Inferior, so weiss ich, dass mein Elementarereignis in fast allen anderen, also in allen bis auf endlich vielen der Ereignissen vertreten ist.
Wenn das so stimmt, habe ich es, hoffentlich, verstanden!
Habe ich das?
Gruss, Wurzelpi und nochmals vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Di 27.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
> Deine Ausführungen haben mir schon enorm weiter geholfen!
Das freut mich! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
> Ich versuch es kurz noch einmal selber zu formulieren:
>
> Sowohl beim Limes Superior als auch beim Limes Inferior
> betrachtet man also bestimmte Elementarereignisse.
> Diese sind gewöhnlich auch in den verschiedesten
> Ereignissen enthalten.
> Also betrachtet man gleich eine Folge von Ereignissen.
Hmh, ja, ich würde das nie so ausdrücken, aber es trifft halbwegs das, was gemeint ist. Zumindestens weiß ich ungefähr, was du meinst.
> Liegt ein Elementarereignis in der Menge des Limes
> Superior, so weiss ich, dass mein Elementarereignis auch in
> allen anderen, also in unendlich vielen der Ereignissen
> vertreten ist.
Worum sollte es in allen anderen vertreten sein? Nein. Liegt ein Elementarereignis (nennen wir es für den Moment mal so) im Limes Superior einer Folge von Ereignissen, dann liegt es einfach in unendlich vielen dieser Ereignisse. Nicht etwa in allen anderen!
> Liegt ein Elementarereignis in der Menge des Limes
> Inferior, so weiss ich, dass mein Elementarereignis in
> fast allen anderen, also in allen bis auf endlich vielen
> der Ereignissen vertreten ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 16.10.2007 | | Autor: | FlorianM |
Hallo,
ich habe eine ähnliche Aufgabenstellung vor mir liegen und soll aus der von dir schon angeführten Definition des limes inferior bzw. limes superior der Menge An zeigen, dass der limes inferior auch bedeutet: {x: x Element Mn mit Ausnahme endlicher vieler n} und der limes superior {x: x Element Mn für unendlich viele n}
Wenn ich dies also zeigen soll, reichen da deine Ausführungen?
Danke!
Gruss Florian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Di 16.10.2007 | | Autor: | FlorianM |
Hallo,
vielen Dank für den Link. Schreibt dort nochmal eine kleine Frage auf. :)
Gruss Florian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 12.08.2004 | | Autor: | basti23 |
Hallo zusammen,
erst mal, hoffentlich richtig gepostet..
versuch mich gerade auf eine wr pruefung vorzubereiten, erster tag, 30 grad.
habe die fragen/antworten von wurzelpi und julius gelesen, da ich auch probleme mit dem verstaendnis von limsup/inf hatte. komme jetzt ein bischen besser damit klar. thanx.
klar ist mir die definition ueber max/min von Hauefungspunkten.
gibts da ein zusammenhang, oder sind das einfach komplett unterschiedliche definitionen wegen folgen von zahlen und folgen von mengen?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Do 12.08.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber basti!
> Hallo zusammen,
> erst mal, hoffentlich richtig gepostet..
Nein, macht aber nichts, das lernst du schon noch. Ich habe den Beitrag jetzt verschoben.
> versuch mich gerade auf eine wr pruefung vorzubereiten,
> erster tag, 30 grad.
> habe die fragen/antworten von wurzelpi und julius gelesen,
> da ich auch probleme mit dem verstaendnis von limsup/inf
> hatte. komme jetzt ein bischen besser damit klar. thanx.
> klar ist mir die definition ueber max/min von
> Hauefungspunkten.
> gibts da ein zusammenhang, oder sind das einfach komplett
> unterschiedliche definitionen wegen folgen von zahlen und
> folgen von mengen?
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ja, es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Limes superior (inferior) von Mengen und Funktionenfolgen, und zwar gilt:
[mm] $1_{\limsup\limits_{n \to \infty} A_n} [/mm] = [mm] \limsup\limits_{n \to \infty} 1_{A_n}$
[/mm]
und
[mm] $1_{\liminf\limits_{n \to \infty} A_n} [/mm] = [mm] \liminf\limits_{n \to \infty} 1_{A_n}$,
[/mm]
wenn (allgemein) [mm] $1_A$ [/mm] die charaktistische Funktion der Menge $A$ bezeichnet.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
