Limes an einer Def.-Lücke < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mi 18.08.2010 | | Autor: | Arcx |
| Aufgabe 1 | | [mm] \limes_{n\to\ 2+} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \limes_{n\to\ 2-} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4} [/mm] |
Hallo an Alle!
Ich bereite mich grade auf die Klausur "Lineare Algebra und Analysis" an meiner Hochschule vor (bzw. ich versuche es o.O)...
In der Probeklausur kamen oben aufgeführte Aufgaben vor, für die wir rechnerisch den Grenzwert berechnen sollen. Leider stolpere ich hierbei darüber, dass die Stelle, für die der Grenzwert berechnet werden soll, nicht definiert ist. L'Hospital kann man hier ja auch nicht anwenden, da es weder [mm] \bruch{0}{0} [/mm] noch [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] ist.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand zeigen könnte, wie hier die Lösung errechnet werden kann!
Vielen Dank im Voraus!
Arcx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
überleg dir zuerst folgendes:
Was ist denn:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{c}{x}$
[/mm]
für $c < 0, c=0, c > 0$.
Dann analog für
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0-} \bruch{c}{x}$
[/mm]
Nun schau dir mal deine Aufgaben an und bedenke, dass ja der Zähler jeweils gegen einen Konstanten wert läuft, was gilt dann für den Gesamtausdruck?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mi 18.08.2010 | | Autor: | Arcx |
Hallo!
Erstmal danke für Deine Antwort! :)
Aaalso,
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{c}{x} [/mm]
wenn c<0 = [mm] -\infty
[/mm]
wenn c=0 = 0
wenn c>0 = [mm] \infty
[/mm]
analog
[mm] \limes_{x\rightarrow 0-} \bruch{c}{x} [/mm]
wenn c<0 = [mm] \infty
[/mm]
wenn c=0 = 0
wenn c>0 = [mm] -\infty
[/mm]
Würde also übertragen auf meine Aufgaben bedeuten:
[mm] \limes_{n\to\ 2+} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4}
[/mm]
da der Zähler in diesem Fall <0 ist und wir uns von rechts annähern, wäre die Lösung: [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\to\ 2-} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4}
[/mm]
da der Zähler in diesem Fall <0 ist und wir uns von links nähern, wäre ie Lösung: [mm] -\infty
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Nun wird in der Probeklausur jedoch explizit nach einer rechnerischen Lösung gefragt... Ich hab bereits rumprobiert, indem ich in das x [mm] 2+\frac{1}{n} [/mm] bzw. [mm] 2-\frac{1}{n} [/mm] eingesetzt habe... Jedoch komm ich damit auch einfach auf keine Lösung :/
Danke schonmal!
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Hallo, betrachten wir
[mm] \limes_{x\to\ 2+} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4}=+\infty
[/mm]
achte zunächst auf die Schreibweise x gegen 2 von rechts
interessant ist doch der NENNER, du näherst dich der 2 von rechts, als Beispiel mal 2,1; 2,01; 2,001; 2,0001 u.s.w. der Term [mm] x^2-4 [/mm] hat somit immer das Vorzeichen +, und geht gleichzeitig gegen Null
[mm] \limes_{x\to\ 2-} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4}=-\infty
[/mm]
du näherst dich der 2 von links, als Beispiel mal 1,9; 1,99; 1,999 u.s.w. jetzt führe mal die Überlegungen von oben aus,
so und nun der ZÄHLER, setze x=2 ein, du bekommst eine Konstante, Gonozal_IX hat sie in der 1. Antwort mit c bezeichnet, c=....
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 18.08.2010 | | Autor: | Arcx |
Hallo Steffi,
auch Dir erstmal ein Danke für die Antwort :)
Leider weiß ich nicht wirklich was mir die Antwort sagen soll :/ Mir ist bewusst, dass sich der Nenner bei
[mm] \limes_{x\to\ 2+} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4}=+\infty
[/mm]
immer weiter der 0 annähert und ein + als Vorzeichen besitzt, ebenso, dass sich der Nenner bei
[mm] \limes_{x\to\ 2-} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4}=-\infty
[/mm]
immer weiter der 0 annäher und ein - als Vorzeichen besitzt.
Der Zähler hat in beiden Fällen den Wert 5 - soweit würde es also:
[mm] \limes_{x\to\ 2+} \frac{5}{(+)0}=+\infty
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\to\ 2-} \frac{5}{(-)0}=-\infty
[/mm]
ergeben, richtig soweit?
Das ist doch aber nicht der korrekte rechnerische Lösungsweg, oder doch?
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Huhu,
> Mir ist bewusst, dass sich der Nenner bei
>
> [mm]\limes_{x\to\ 2+} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4}=+\infty[/mm]
>
> immer weiter der 0 annähert und ein + als Vorzeichen
> besitzt, ebenso, dass sich der Nenner bei
>
> [mm]\limes_{x\to\ 2-} \frac{x^2-2x+5}{x^2-4}=-\infty[/mm]
>
> immer weiter der 0 annäher und ein - als Vorzeichen
> besitzt.
>
> Der Zähler hat in beiden Fällen den Wert 5 - soweit
> würde es also:
>
> [mm]\limes_{x\to\ 2+} \frac{5}{(+)0}=+\infty[/mm]
>
> und
>
> [mm]\limes_{x\to\ 2-} \frac{5}{(-)0}=-\infty[/mm]
>
> ergeben, richtig soweit?
jop, wobei ein kleines Formulierungsdefizit.
Der Zähler hat nicht den Wert 5, sondern er nähert sich dem Wert 5 
> Das ist doch aber nicht der korrekte rechnerische
> Lösungsweg, oder doch?
Hm, eigentlich schon.
Genauer geht es nur noch, wenn du dir klar machst, was es bedeutet, dass ein Grenzwert unendlich ist.
Nämlich dass jede beliebige Grenze überschritten wird.
D.h. du müsstest zeigen, dass für jedes [mm] $k\in\IR$ [/mm] ein [mm] \delta [/mm] existiert, so dass der Bruch grösser als k wird für alle [mm] $x\in (2,2+\delta)$ [/mm]
Aber das wäre hier meiner Meinung nach mit Kanonen auf Spatzen geschossen
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 18.08.2010 | | Autor: | Arcx |
Okay, super!
Danke euch beiden nochmal ganz herzlich :)
P.S.: Das Forum hier ist wirklich klasse! :)
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Für x [mm] \mapsto [/mm] 2+ Wählst du einfach: x = [mm] 2+\epsilon [/mm] mit [mm] \epsilon [/mm] > 0, setzt das für x in den Bruchterm ein und erhältst
[mm] \bruch{(2+\epsilon)^2 - 2*(2+ \epsilon)+5}{(2+\epsilon)^2 - 4}= \bruch{(4+4\epsilon+\epsilon ^2) - (4 + 2 \epsilon)+5}{(4+4\epsilon+\epsilon ^2) - 4}= \bruch{2\epsilon+\epsilon ^2+5}{4\epsilon+\epsilon ^2}= [/mm] (jetzt kürzt du mit [mm] \epsilon, [/mm] damit im Nenner mindestens ein Summand nicht Null ist und keinen Faktor [mm] \epsilon [/mm] mehr hat, warum s.u., was erlaubt ist, da [mm] \epsilon [/mm] >0 ist)
= [mm] \bruch{2+\epsilon+5/\epsilon}{4+\epsilon}.
[/mm]
Wenn nun [mm] \epsilon [/mm] nach 0 geht, geht x nach "2+". Der Nenner des Bruches geht dabei nach 4, der Zähler aber nach [mm] +\infty, [/mm] also alles nach [mm] +\infty.
[/mm]
Bei Aufgabe 2 machst du das selbe mit x = 2 - [mm] \epsilon [/mm] mit wieder positivem [mm] \epsilon, [/mm] der Zähler sieht ähnlich aus und geht nach [mm] +\infty, [/mm] der Nenner aber nun nach -4 und damit das Ganze nach [mm] -\infty.
[/mm]
Damit hast du eine korrekte Berechnung.
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