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| Aufgabe | | [mm] \limes_{x \to \ 1}\bruch{x^2-1}{x-1}=2 [/mm] |
Sorry für die ganz blöde Frage: aber wie rechne ich das Ergebnis der obigen Aufgabe aus? Ich kaue mich gerade durch sämtliche Beschreibungen von Grenzwert-Funktionen und finde dazu nichts. Ich habe mir das Folgende selbst hergeleitet (und gehe davon aus, dass es grundfalsch ist).
[mm] \limes_{x \to \ 1}\bruch{x^2-1}{x-1}= \left[ f(x+y)+f(x-y)\right] \times [/mm] 0,5
y ist dabei irgend ein möglichst kleiner Wert. Ich verstehe den Limes also als Funktion, die ich irgendwie mit der Hand ausrechnen kann. Nachdem ich davon ausgehe, dass das falsch ist und es irgend eine sinnvolle Methode gibt, hat aber vielleicht jemand verstanden, wo ich gerade hänge: wie rechnet man einen Limes aus? Ganz konkret? Vielleicht ist das für Doofe auch irgendwo beschrieben. Habe schon alles gegoogelt und keinen Hinweis gefunden... - Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Auweiha,
> [mm]\limes_{x \to \ 1}\bruch{x^2-1}{x-1}=2[/mm]
> Sorry für die ganz
> blöde Frage: aber wie rechne ich das Ergebnis der obigen
> Aufgabe aus? Ich kaue mich gerade durch sämtliche
> Beschreibungen von Grenzwert-Funktionen und finde dazu
> nichts. Ich habe mir das Folgende selbst hergeleitet (und
> gehe davon aus, dass es grundfalsch ist).
>
> [mm]\limes_{x \to \ 1}\bruch{x^2-1}{x-1}= \left[ f(x+y)+f(x-y)\right] \times[/mm]
> 0,5
Das versteh' ich jetzt nicht! Ich denke auch nicht, dass Du damit zum Ziel kommst!
Bei solchen Aufgaben geht man erst mal so vor, dass man den x-Wert, um den sich's dreht, einsetzt: Kommt vor, dass dann schon das Ergebnis dasteht.
Hier ist's nicht der Fall, da dann Zähler und Nenner beide gleich null werden.
Nun gibt's (mindestens) 3 Möglichkeiten:
(1) Du verwendest die sog. h-Methode. (Mach' ich praktisch nie!)
(2) Du kennst Dich ein bissl mit Bruchtermen aus und kürzt.
(Das werd' ich Dir hier dann vormachen!)
(3) Du kennst die Regeln von de L'Hospital und wendest sie an.
(Macht man eigentlich nur bei etwas schwierigeren Aufgaben!)
Hier ist die 2.Methode die günstigste:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{x^{2}-1}{x-1}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{(x-1)(x+1)}{x-1} [/mm] (binomische Formel!!)
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] (x+1) (durch (x-1) gekürzt!)
= 1 + 1 = 2
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein,
erst mal tausend Dank für die schnelle und gute Antwort. Das hat mich tatsächlich einen Schritt weiter gebracht. Ich werde versuchen die anderen beiden Methoden (1 und 3) zu recherchieren und verstehen. Das Kürzen ist mir relativ klar. Allerding habe ich auf deine Antwort hin noch zwei Fragen:
1.) zur Methode des Kürzens:
Ich habe die Limes-Rechnung bisher als Grenzberechnung, also als Annäherung an einen Punkt verstanden. So wie du kürzst, findet ja nach meinem Verständnis gar kein spezifischer Limes-(Annäherungs)Prozess statt. Dieses Kürzen hätte man ja aus der Funktion selbst heraus auch einfach machen können. Wo ist in diesem Prozess die Annäherung an den Wert 1 nach dieser Methode?
2.) zu der von mir vorgeschlagenen Methode:
auch hier kommt für die obige Funktion und die Annäherung gegen 1 das Ergebnis 2 raus. Ich habe diese Methode auch mal mit dem SIN(5) versucht und bin bei einem y von 0.0001 auf ein bis auf die 5te Stelle hinter dem Komma richtigen Sinus gekommen. Bei linearen Funktionen (also Funktionen deren Graph eine Linie ergibt) kann y eine beliebige ganze Zahl sein und das Ergebnis dürfte immer stimmen. Ich habe diese Methode deswegen so angelegt, weil sie den Annäherungsprozess gegen einen Wert vollzieht. Allerdings füchte ich, dass gute Mathematiker das deswegen nicht verstehen, weil irgendein grundsätzlicher Denkfehler enthalten ist, der sich mir nicht erschließt.
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Hallo Auweia :)
deine Methode zeugt zumindest von Kreativität und müsste meines Erachtens nach bei eindeutigen Grenzwerten eine gute Näherung des Grenzwertes liefern,
allerdings klappt das leider nicht immer, so z.B. bei
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{x}[/mm]
Hier kommst du mit deiner Näherung irgendwo ziemlich nah an 0, allerdings läuft die Funktion von links gegen [mm]-\infty[/mm] und von rechts gegen [mm]+\infty[/mm], wie man hier schön sieht.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich denke, es ist klar, warum da als Mittelwert um 0 (denn nichts anderes ist es, was du tust: Einen Mittelwert um den Grenzwert bilden) immer 0 rauskommt. Schöne Symmetrische Funktion mit unterschiedlichen Vorzeichen (wenn du es nicht siehst, probier deine Methode aus).
Nichtsdestotrotz ist der Grenzwert hier unbestimmt, d.h. es existiert kein Grenzwert, weil sich der linksseite Grenzwert (= der Grenzwert von links = [mm] -\infty) [/mm] und der rechtsseitige Grenzwert (= der Grenzwert von rechts = [mm] \infty) [/mm] unterscheiden.
Dein Fehler liegt letztendlich dadrin, daß die Grenzwertbetrachtung eben doch mehr ist, als eine einfache Mittelwertberechnung.
Wie man einen Grenzwert genau ausrechnet, lässt sich im Allgemeinen nicht so einfach sagen, allerdings gibt es ein paar "Standartmethoden", die man meist erstmal durchexerziert und die auch zu 99% zu einem Ergebnis führen. Hier mal ein paar Schlagworte, die du mal recherchieren kannst.
1.) Standartgrenzwerte ([mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}, \limes_{x\rightarrow\infty}x,\ldots[/mm]).
2.) Grenzwertsätze
3.) Kürzen
4.) "Regel von L'Hopital" bzw. "Regel von L'Hospital" (ist beides das gleiche, nur ob mit der ohne s, darüber streiten sich die Mathematiker heute noch  ).
Naja, soweit erstmal von mir.
Bei Fragen einfach weitertipseln.
MfG,
Gono.
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Hallo Gono,
danke für den Hinweis. Ich sehe das Problem glücklicherweise auch ohne es nachzurechnen. Ich arbeite mich gerade nach Jahren wieder in den Stoff rein - deswegen stell ich so doofe Fragen. Das Problem, das ich momentan mit L'Hopital habe, ist dass er einen Quotienten aus zwei Ableitungen bildet, um einen Limes zu errechnen. Um eine Ableitung zu errechnen brauche ich nach meinem heutigen Kenntnisstand aber wieder einen Limes. Da beisst sich die Katze in den Schwanz (für jemanden wie mich). Aber ich nerv Euch jetzt nicht länger, weil wir da vom hundertsten ins tausendste kommen. Ich lern einfach weiter und stell dann wieder eine spezifische Frage. Ich finde das sehr lehrreich in diesem Forum.
Man könnte übrigens meine Mehtode von oben auch als einseitige Annährung formulieren. Im Moment ist es ja ein Mittelwert, der sich von oben und unten an den Funktionswert annähert und deswegen in manchen Fällen zu guten Ergebnissen komnt. Für Fälle wie 1/x könnte man auch anders vorgehen. Nämlich die Funktion einmal für f(x-y) und dann noch einmal für f(x-2y) ausrechenen. Die Differenz zwischen den Ergebissen addiert man zu f(x-y) und kommt so für Fälle, wo ich mich von nur einer Seite an den Grenzwert annähere zu einem guten Ergebnis. Aber ich weiß schon....unorthodox und für Differentiale und so nicht zielführend.
Tausend Dank nochmal.
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Also vergesst meine Idee von gerade eben - Schwachsinn!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Sa 16.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
die h-methode geht so:
ich nehme eine stelle [mm] x_{0} [/mm] und eine stelle [mm] x_{0}+h
[/mm]
= [mm] \bruch{(x_{0}+h)^2 -1 - [x_{0}^2-1]}{x_{0}+h-1 - [x_{0}-1]}
[/mm]
= [mm] \bruch{x_{0}^2 +2x_{0}h +h^2 -1 - x_{0}^2 +1}{x_{0}+h-1 - x_{0}+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{2x_{0}h +h^2}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{h*(2x_{0} +h)}{h}
[/mm]
= [mm] 2x_{0} [/mm] +h
für h=0 und [mm] x_{0}=1 [/mm]
= 2
gruß
wolfgang
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Hi, Auweiha,
> 1.) zur Methode des Kürzens:
> Ich habe die Limes-Rechnung bisher als Grenzberechnung,
> also als Annäherung an einen Punkt verstanden. So wie du
> kürzst, findet ja nach meinem Verständnis gar kein
> spezifischer Limes-(Annäherungs)Prozess statt. Dieses
> Kürzen hätte man ja aus der Funktion selbst heraus auch
> einfach machen können. Wo ist in diesem Prozess die
> Annäherung an den Wert 1 nach dieser Methode?
Nun, die beiden Funktionen f(x) = [mm] \bruch{x^{2}-1}{x-1} [/mm] und g(x)=x+1
stimmen in allen Funktionswerten miteinander überein, AUSSER für x=1: Dort ist f(x) ja nicht definiert.
Meine "Grenzwertrechnung" beruht auf der Tatsache, dass g(x) für x=1 stetig ist; daher muss der Grenzwert von f mit dem Funktionswert g(1) übereinstimmen.
Eine "Annäherung" im Sinne von "langsam an den Wert ranpirschen" wie man ihn bei der h-Methode hinzuschreiben versucht, ist hier tatsächlich nicht zu erkennen. (Übrigens musst Du auch bei Verwendung der h-Methode häufig kürzen und beim Differentialquotienten ist das sogar der entscheidende Trick, um einen vernünftigen Wert der Ableitung zu kriegen!)
mfG!
Zwerglein
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Hi Zwerglein,
thanx für die Hinweise nochmal. Bin tatsächlich etwas schlauer geworden. Werde jetzt mal die h-Methode recherchieren. Ich kann alles nachvollziehen, was du schreibst und mach mich auf die Socken ein wenig von der Infinitesimalrechnung zu verstehen. Melde mich bestimmt bald mit weiteren Fragen. Bis dahin vielen Dank für den schnellen und kompetenten Ratschlag. Ist tatsächlich spitze hier!!!
Auweia
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