Limes gegen 0 zu zeigen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] X_1,...,X_n [/mm] unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit
[mm] X_i [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] mit Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Sei [mm] Y_n:=X_1***X_n [/mm] . Zeigen Sie mit dem Gesetz der grossen Zahlen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Y_n [/mm] = 0 fast sicher.
Tipp: Benützen und zeigen Sie folgendes: Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] strikt konvex und E(f(X))=f(E(X)). Dann gilt: X=E(X) fast sicher. |
Zum ersten (X=EX):
??Aus $E(f(X))=f(E(X))$ folgt erstmal $f(X)=f(E(X))$, weil $f(X)$ eine Konstante ist??
Wenn f streng konvex ist gilt
$f(E(X))>f(X)+(EX-X)*f'(x)$ hier auf beiden Seiten den Erwartungswert bilden gibt mir
$f(E(X))>E(f(X))$
Sehe nicht, wo mich das hinführt...?
Zum zweiten (fast sicherer Limes):
Ich kenne dieses Gesetz hier:
[mm] X_n \forall [/mm] n dieselbe Verteilung. Dann: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i [/mm] = [mm] E(X_1) [/mm] fast sicher.
Sehe nicht, wie da der Zusammenhang ist, da hier von Produkten die Rede ist und nicht von einer Summe?
Klar ist, dass
[mm] E(X_i)=1 \forall [/mm] i also
[mm] E(Y_n)=E(X_1)***E(X_n)=1
[/mm]
Jetzt muss ich also zeigen, dass
[mm] P(\limes_{n\rightarrow\infty}Y_n=0)=1 [/mm] und hier kann ich umformen, wie ich will...ich komme nicht auf die obengenannte Summe?
Was ist hier zu tun?
Grüsse
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Hiho,
wo der Tipp hinführt, seh ich auch nicht. Dieser ist aber auch gar nicht notwendig. Deine Idee das in eine Summe umzuformen ist ein guter Ansatz.
> ich komme nicht auf die obengenannte Summe?
Betrachte [mm] $\ln(Y_n)$ [/mm] und beachte/benutze [mm] $E[\ln(X_1)] [/mm] < 0$ 
MFG,
Gono.
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Hallo
Ich habe für [mm] Z_i:=ln(X_i) [/mm] und [mm] W_i:= \summe_{i=1}^{n} Z_i [/mm] = [mm] ln(Y_i)
[/mm]
[mm] E(Z_1)=E(ln(X_1))=ln(E(X_1))=ln(1)=0
[/mm]
Damit habe ich dann mit dem Gesetz der grossen Zahlen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} Z_i]=0
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] ln(Y_n)]
[/mm]
aber das bringt mich nicht weiter. Auch entsprechende Umformung (auf beiden Seiten das Exponential bilden) hilft mir nicht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [ [mm] \wurzel[n]{Y_n} [/mm] =1]
Sehe ich wieder etwas nicht?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Di 22.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] E(Z_1)=E(ln(X_1))=ln(E(X_1))=ln(1)=0 [/mm] $
Wie kommst Du auf das?
[mm] $E(\ln(X_i))\approx [/mm] -0.14$
ciao
Stefan
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Hallo Stefan
Danke. Aber wie komme ich hier weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] [ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] ln(Y_n)] [/mm] =-0.14
Ich komme nicht weiter, bitte helft :(
Muss ich ein anderes Gesetz nutzen?
Grüsse
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Hiho,
> Danke. Aber wie komme ich hier weiter:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [ [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm]ln(Y_n)][/mm]
> =-0.14
> Muss ich ein anderes Gesetz nutzen?
Nö.
Umformen liefert dir:
[mm] $\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\ln(Y_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] -0.14*n$
Na was passiert nun rechts?
Was bedeutet das für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Y_n [/mm] ?
Wenn du es nicht sofort siehst, wende auf beiden Seiten die [mm] $\exp$-Funktion [/mm] an.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Umformen liefert dir:
> $ [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\ln(Y_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -0.14\cdot{}n [/mm] $
Das "genau dann, wenn" ist falsch. Insgesamt ist die Umformung was für Physiker. =)
Schreiben wir lieber
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] ln(Y_n) [/mm] =-0.14 $
[mm] $\Rightarrow\ \lim_{n\to\infty} \ln(Y_n) [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
ciao
Stefan
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