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| Aufgabe | Berechne
(i) inf [mm] \{ sup \{ a_{m,n} | m \in \IN \} | n \in \IN \} [/mm]
(ii) sup [mm] \{ inf \{ a_{m,n} | n \in \IN \} | m \in \IN \} [/mm]
von
[mm] a_{m,n} [/mm] = [mm] m^2/(n^2 [/mm] + [mm] m^2 [/mm] + 1) |
Hallo zusammen,
die Aufgabe ist für den nächsten Ana-Zettel zu lösen, allerdings habe ich keine Idee dazu.
Wenn ich es richtig verstanden habe, ist (1) der Limes superior und (2) Limes inferior. Zu (1) müsste ich also den kleinsten unter den Häufungspunkt finden, die durch konvergente Teilfolgen entstehen (wie hier: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:LimSup.svg&filetimestamp=20080519052231 ). Allerdings würde ich sagen, dass die Folge gegen 1 konvergiert, gegeben dass n fix [mm] \in \IN, [/mm] also nur ein Häufungspunkt existiert.
Zu (2) habe ich keine Idee.
Ich würde mich über Tipps freuen. Danke!
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Hallo,
> Berechne
> (i) inf [mm]\{ sup \{ a_{m,n} | m \in \IN \} | n \in \IN \}[/mm]
> (ii) sup [mm]\{ inf \{ a_{m,n} | n \in \IN \} | m \in \IN \}[/mm]
> von
> [mm]a_{m,n}[/mm] = [mm]m^2/(n^2[/mm] + [mm]m^2[/mm] + 1)
> Hallo zusammen,
>
> die Aufgabe ist für den nächsten Ana-Zettel zu lösen,
> allerdings habe ich keine Idee dazu.
>
> Wenn ich es richtig verstanden habe, ist (1) der Limes
> superior und (2) Limes inferior.
Nein, zumindest ist das nicht die Definition aus Analysis 1.
Limes Inferior und Superior wird für Folgen eines Indizes [mm](a_n)[/mm] wie folgt definiert:
[mm]\liminf_{n\to\infty} a_n = \sup_{n\ge 0} \inf_{k \ge n} a_k[/mm]
> Zu (1) müsste ich also
> den kleinsten unter den Häufungspunkt finden, die durch
> konvergente Teilfolgen entstehen. Allerdings würde ich sagen, dass die Folge gegen 1
> konvergiert, gegeben dass n fix [mm]\in \IN,[/mm] also nur ein
> Häufungspunkt existiert.
Die Aufgabe hat nicht so viel mit Häufungspunkten, sondern eher mit der elementaren Berechnung von Supremum und Infimum zu tun. In der Aufgabe soll (vermutlich) gezeigt werden, dass man Supremum- und Infimumsbildung nicht einfach vertauschen darf:
[mm]\inf_{n\in\IN} \sup_{m\in \IN} a_{m,n} \not= \sup_{m\in\IN} \inf_{n\in \IN} a_{m,n}[/mm]
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Wenden wir uns zunächst ii) zu.
[mm]\sup_{m\in\IN} \inf_{n\in \IN} a_{m,n} = \sup_{m\in\IN}\inf_{n\in \IN} \frac{m^2}{n^2+m^2+1}[/mm].
[ Es ist nun also zunächst für festes [mm]m \in \IN[/mm] zu bestimmen:
[mm]\inf_{n\in \IN} \frac{m^2}{n^2+m^2+1}[/mm].
Für welches [mm]n\in \IN[/mm] wird also der Term [mm]\frac{m^2}{n^2+m^2+1}[/mm] "minimal" (Ihr hattet sicher schon in der Vorlesung, dass Infimum nicht das Minimum ist, sondern bloß eine "untere Schranke". Aber natürlich hilft das anschauliche Verständnis vom Minimum, um das Infimum zu finden) ? Sicher für das größtmögliche n, also [mm]n\to\infty[/mm], d.h. wir haben:
[mm]\inf_{n\in\IN} \frac{m^2}{n^2+m^2+1} = 0[/mm]. ]
Damit ist:
[mm]\sup_{m\in\IN} \inf_{n\in\IN}\frac{m^2}{n^2+m^2+1} = \sup_{m\in\IN} 0 = 0.[/mm]
--------
Nun i):
[mm] $\inf_{n\in\IN}\sup_{m\in\IN}a_{m,n} [/mm] = [mm] \inf_{n\in\IN}\sup_{m\in\IN}\frac{m^2}{n^2+m^2+1}$
[/mm]
[ Nun also zunächst für festes [mm]n\in\IN[/mm] zu bestimmen:
[mm]\sup_{m\in\IN}\frac{m^2}{n^2+m^2+1}[/mm].
Für welches [mm]m\in\IN[/mm] wird der Term [mm]\frac{m^2}{n^2+m^2+1} = 1-\frac{1+n^2}{n^2+m^2+1}[/mm] maximal?
..... ]
Viele Grüße,
Stefan
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