Limes nte Wurzel von 1+2^n < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{1+2^n} [/mm] = 2
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a+b^n} [/mm] = a+1? |
Hallo!
Oben genannter Grenzwert wird bei mir in den Musterlösungen der Übungsaufgaben meiner Mathematikvorlesung öfters verwendet (so oder in etwas abgewandelter Form), er wurde allerdings nirgends großartig bewiesen /durchgerechnet/ etc.. Bekannt ist, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1 ist, mir fällt aber nicht ein wie man das zum Beweisen des oben genannten Grenzwertes nutzen könnte. Bei jedem Lösungsversuch stört mich die Summe in der Wurzel.
Bestimmt gibt es einen Handgriff /Trick dafür, den ich gerade nicht sehe, desswegen wäre ich für jede Hilfe dankbar ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
Scorpion008
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{1+2^n}[/mm] = 2
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a+b^n}[/mm] = a+1?
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> Hallo!
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> Oben genannter Grenzwert wird bei mir in den
> Musterlösungen der Übungsaufgaben meiner
> Mathematikvorlesung öfters verwendet (so oder in etwas
> abgewandelter Form), er wurde allerdings nirgends
> großartig bewiesen /durchgerechnet/ etc.. Bekannt ist,
> dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}[/mm] = 1 ist, mir
> fällt aber nicht ein wie man das zum Beweisen des oben
> genannten Grenzwertes nutzen könnte. Bei jedem
> Lösungsversuch stört mich die Summe in der Wurzel.
Hallo Scorpion008 und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
das zweite Ergebnis sollte natürlich b sein und nicht a+1 !
(Voraussetzung b>1)
Die Formel für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}[/mm]
hilft für den Beweis allerdings gar nichts.
Für einen solchen brauchst du eine "stinknormale"
Epsilonrechnung. Grundidee dahinter: Für b>1 strebt
[mm] b^n [/mm] gegen unendlich, erreicht dabei also beliebig
große Werte. Neben diesem [mm] b^n [/mm] ist dann der andere,
fix gegebene Wert a (der dürfte sogar auch negativ sein)
vernachläßigbar klein.
Zeige also, dass die Glieder der Zahlenfolge [mm] [/mm] mit
$\ [mm] z_n\,=\, \wurzel[n]{a+b^n}$ [/mm] beliebig nahe an b heran rücken,
wenn nur das n genügend groß gewählt wird.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:39 Di 13.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a+b^n} [/mm] $:
Ich gehe von a,b [mm] \ge [/mm] 0 aus.
Bekannt ist also $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] $ = 1
Was wir weiter benötigen ist: für c>0 gilt:$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{c} [/mm] =1$
Beweis: Fall 1: c [mm] \ge [/mm] 1: es ist 1 [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] n für fast alle n, also
1 [mm] \le \wurzel[n]{c} \le \wurzel[n]{n} [/mm] für fast alle n.
Mit n [mm] \to\infty [/mm] folgt die Beh.
Fall 2: c<1: aus Fall 1 folgt: [mm] \wurzel[n]{1/c} \to [/mm] 1 und daraus dann die Beh.
Zur Aufgabe: sei [mm] a_n:=\wurzel[n]{a+b^n}
[/mm]
Fall 1: a=b=0. Dann: [mm] a_n \to [/mm] 0
Fall 2: a>0, b=0. Dann: [mm] a_n \to [/mm] 1.
Fall 3: a=0, b>0: Dann: [mm] a_n \to [/mm] b.
Fall 4: a>0, b>0.
Fall 4.1: b=1: Dann: [mm] a_n \to [/mm] 1.
Fall 4.2: b>1: wegen [mm] b^n \to \infty, [/mm] ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] b^n \le a+b^n \le 2*b^n [/mm] für n>N.
Somit: b [mm] \le a_n \le \wurzel[n]{2}*b [/mm] für n>N.
Also: [mm] a_n \to [/mm] b.
Fall 4.3: b<1. wegen [mm] a+b^n \to [/mm] a, ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
a/2 [mm] \le a+b^n \le [/mm] 2a für n>N.
Zieht man die n-te Wurzel, so folgt: [mm] a_n \to [/mm] 1
FRED
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Vielen Dank für eure Antworten! Ihr habt mir sehr geholfen.
Ich habe die ganze Zeit wie blöde rumgerechnet und versucht den Term auf einen bekannten Term irgendwie zurückzuführen, auf die Idee den Grenzwert selber direkt zu bestimmen (mit Einschließung, Epsilon, etc.) bin ich gestern Nacht nicht mehr gekommen.
Vielleicht sollte man bei solchen Sachen um die Uhrzeit lieber eine Nacht darüber schlafen, anstatt noch zwanghaft etwas zu Stande bekommen zu wollen.
Nochmal vielen Dank!
Grüße
Scorpion008
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