Limes von Integralen bestimmen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Mo 21.11.2016 | | Autor: | Septime |
| Aufgabe | Bestimme den Limes
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{(0,a)}^{}{f_n(x) dx},
[/mm]
falls er existiert.
a) a=1, [mm] f_n(x)=nx^3*e^{-nx^2}
[/mm]
[mm] b)a=\infty, f_n(x)=\begin{cases} ln(x)/x^n, & \mbox{für } x \ge n \mbox{ } \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
c)a=1, [mm] f_n(x)=1-nx^n [/mm] |
Hallo,
ich habe folgendes:
a) Es gilt [mm] nx^3e^{-nx^3} [/mm] = [mm] xnx^2e^{-nx^2} \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und dann haben wir eine Majorante, die integrierbar ist und man kann den Satz von Lebesgue anwenden. Meine Frage ist, ob es klar ist, dass [mm] nx^2e^{-nx^2} \le [/mm] 1 ist oder ob man das auch beweisen müsste ?
b) Für n [mm] \ge [/mm] 2 würde [mm] ln(x)/x^2 [/mm] eine integrierbare majorante sein, aber für n=1 (und n=0, wenn 0 aus den natürlichen Zahlen ist) finde ich keine, da ln(x)/x nicht integrierbar ist. Das heißt für endlich viele n ist [mm] f_n [/mm] nicht integrierbar, heißt das jetzt, dass [mm] f_n [/mm] allgemein nicht integrierbar ist?
Außerdem kann man das Riemann - Integral nicht verwenden, da (0,a) ein offenes Intervall ist. Stimmt das ?
c) Auch hier finde ich keine Majorante, da die Funktion für große n in [mm] -\infty [/mm] geht. Der Wert des Integrals der Grenzfunktion beträgt jedoch 1.
Gruß Septime
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> Bestimme den Limes
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{(0,a)}^{}{f_n(x) dx},[/mm]
>
> falls er existiert.
> a) a=1, [mm]f_n(x)=nx^3*e^{-nx^2}[/mm]
> [mm]b)a=\infty, f_n(x)=\begin{cases} ln(x)/x^n, & \mbox{für } x \ge n \mbox{ } \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> c)a=1, [mm]f_n(x)=1-nx^n[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe folgendes:
> a) Es gilt [mm]nx^3e^{-nx^3}[/mm] = [mm]xnx^2e^{-nx^2} \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und
> dann haben wir eine Majorante, die integrierbar ist und man
> kann den Satz von Lebesgue anwenden. Meine Frage ist, ob es
> klar ist, dass [mm]nx^2e^{-nx^2} \le[/mm] 1 ist oder ob man das auch
> beweisen müsste ?
Natürlich müsstest du das beweisen. Außerdem sollst du das Integral (im Grenzwert) bestimmen. Da ist eine Majorante nicht unbedingt hilfreich, es sei denn, du zwängst damit den Wert ein.
Was bringt die Zerlegung [mm] nx^3e^{-nx^3} [/mm] = [mm] xnx^2e^{-nx^2}, [/mm] die übrigens falsch ist?:
[mm] nx^3e^{-nx^3} [/mm] = [mm] xnx^2e^{-nx^3}
[/mm]
>
> b) Für n [mm]\ge[/mm] 2 würde [mm]ln(x)/x^2[/mm] eine integrierbare
> majorante sein, aber für n=1 (und n=0, wenn 0 aus den
> natürlichen Zahlen ist) finde ich keine, da ln(x)/x nicht
> integrierbar ist. Das heißt für endlich viele n ist [mm]f_n[/mm]
> nicht integrierbar, heißt das jetzt, dass [mm]f_n[/mm] allgemein
> nicht integrierbar ist?
> Außerdem kann man das Riemann - Integral nicht verwenden,
> da (0,a) ein offenes Intervall ist. Stimmt das ?
>
> c) Auch hier finde ich keine Majorante, da die Funktion
> für große n in [mm]-\infty[/mm] geht.
Wozu denn auch?
> Der Wert des Integrals der
> Grenzfunktion beträgt jedoch 1.
Nein.
Es ist [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=\integral_{0}^{1}{(1-nx^n) dx}= x-\bruch{n}{n+1}x^{n+1}|^1_0 [/mm] = [mm] 1-\bruch{n}{n+1}=\bruch{1}{n+1}. [/mm] und wenn n nach [mm] \infty [/mm] geht, geht das nach 0.
>
> Gruß Septime
Probier bei a) und b) mal ein bisschen mit der Parziellen Integration herum.
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Hallo,
> Bestimme den Limes
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{(0,a)}^{}{f_n(x) dx},[/mm]
>
> falls er existiert.
> a) a=1, [mm]f_n(x)=nx^3*e^{-nx^2}[/mm]
> [mm]b)a=\infty, f_n(x)=\begin{cases} ln(x)/x^n, & \mbox{für } x \ge n \mbox{ } \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> c)a=1, [mm]f_n(x)=1-nx^n[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe folgendes:
> a) Es gilt [mm]nx^3e^{-nx^3}[/mm] = [mm]xnx^2e^{-nx^2} \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und
> dann haben wir eine Majorante, die integrierbar ist und man
> kann den Satz von Lebesgue anwenden. Meine Frage ist, ob es
> klar ist, dass [mm]nx^2e^{-nx^2} \le[/mm] 1 ist oder ob man das auch
> beweisen müsste ?
Wenn du im Exponenten [mm] x^2 [/mm] statt [mm] x^3 [/mm] schreibst, stimmt das. Zum Beweis solltest du begründen, dass [mm]y*e^{-y}\le 1[/mm] für alle y>0 ist.
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> b) Für n [mm]\ge[/mm] 2 würde [mm]ln(x)/x^2[/mm] eine integrierbare
> majorante sein, aber für n=1 (und n=0, wenn 0 aus den
> natürlichen Zahlen ist) finde ich keine, da ln(x)/x nicht
> integrierbar ist. Das heißt für endlich viele n ist [mm]f_n[/mm]
> nicht integrierbar, heißt das jetzt, dass [mm]f_n[/mm] allgemein
> nicht integrierbar ist?
Es geht um den Grenzwert für [mm]n\to\infty[/mm], da sind die Fälle n=0 und n=1 völlig uninteressant. Und natürlich ist, wie du eigentlich korrekt begründet hast, [mm]f_n[/mm] für [mm]n\ge 2[/mm] integrierbar.
> Außerdem kann man das Riemann - Integral nicht verwenden,
> da (0,a) ein offenes Intervall ist. Stimmt das ?
Nein. Wenn eine Funktion auf einem offenen Intervall Lebesgue- und uneigentlich Riemann-integrierbar ist, simmen beide Integrale überein. Aber das brauchst du hier gar nicht, da du den Satz von Lebesgue benutzen kannst.
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> c) Auch hier finde ich keine Majorante, da die Funktion
> für große n in [mm]-\infty[/mm] geht. Der Wert des Integrals der
> Grenzfunktion beträgt jedoch 1.
Du findest keine integriebare Majorante, weil es keine gibt. Dies hier ist ein Gegenbeispiel, wo der Satz von Lebesgue nicht anwendbar ist, weil die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Aber die Integrale lassen sich problemlos direkt berechnen.
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> Gruß Septime
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