Limes zwei konvergenter Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] zwei konvergente Folgen in [mm] \IR.
[/mm]
Es gelte [mm] a_n\le b_n [/mm] für alle n.
Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] ≤ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n
[/mm]
Zeigen Sie außerdem anhand eines Beispiels, dass die folgende Aussage im Allgemeinen falsch ist.
[mm] a_n |
Hallo liebe Forumsmitglieder.
Ich sitze seit mehreren Stunden an dieser Aufgabe fest.
Meine Idee:
Für 2 konv. Folgen gilt: (Notation: an = a mit Indize n)
[mm] a_n-b_n=a-b [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n-\limes_{n\rightarrow\infty}b_n
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=b-a>=0
[/mm]
Ich will also zeigen, dass die Aussage links immer größer als 0 ist.
Aber ich komme einfach nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] zwei konvergente Folgen in [mm]\IR.[/mm]
> Es gelte [mm]a_n\le b_n[/mm] für alle n.
> Zeigen Sie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] ≤ [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
>
> Zeigen Sie außerdem anhand eines Beispiels, dass die
> folgende Aussage im Allgemeinen falsch ist.
> [mm]a_n
>
> Hallo liebe Forumsmitglieder.
> Ich sitze seit mehreren Stunden an dieser Aufgabe fest.
> Meine Idee:
> Für 2 konv. Folgen gilt: (Notation: an = a mit Indize n)
?? Was soll das heißen? Du bezeichnest die Grenzwerte mit a und b?!
> [mm]a_n-b_n=a-b[/mm] und
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n-\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
> Daraus folgt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=b-a>=0[/mm]
>
> Ich will also zeigen, dass die Aussage links immer größer
> als 0 ist.
> Aber ich komme einfach nicht weiter.
Es bietet sich hier ein indirekter Beweis an.
Nimm an, es gilt [mm]a>b[/mm]
Konstruiere damit einen Widerspruch zur Voraussetzung, folgere also [mm]b_n
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mi 18.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen,
für b) habe ich einen Vorschlag. Man betrachte zum einen die Nullfolge bestehend aus nur positiven Gliedern und zum anderen jene bestehend aus ausschließlich negativen Gliedern und setze beide in Vergleich.
Falls ich falsch liege, dürft ihr mich gerne korrigieren 
Viele Grüße,
X³nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mi 18.11.2015 | | Autor: | reverend |
Hallo X3nion,
> Guten Abend zusammen,
>
> für b) habe ich einen Vorschlag. Man betrachte zum einen
> die Nullfolge bestehend aus nur positiven Gliedern und zum
> anderen jene bestehend aus ausschließlich negativen
> Gliedern und setze beide in Vergleich.
"die" Nullfolge? Welche soll das sein?
Hier genügt jede rein positive, verglichen mit der entsprechenden (also mit -1 multiplizierten) rein negativen.
> Falls ich falsch liege, dürft ihr mich gerne korrigieren
>
Nee, schon gut. Ein Vergleich von [mm] c_n=\br{1}{n+1} [/mm] und [mm] d_n=\br{1}{n+2)} [/mm] hätte aber auch genügt, wie auch unendlich viele andere Beispiele.
Grüße
reverend
> Viele Grüße,
> X³nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Sa 21.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo,
> Noch weniger Schreibarbeit hätte man mit
> [mm] a_n=0 [/mm] und [mm] b_n=1/n [/mm] .......
Da hast du natürlich vollkommen Recht!
Gruß X³nion
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