Limesberechnung einer Summe < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{t=0}^{T} (m*r^t)/(1+i)^t [/mm] |
Nun soll T gegen unendlich streben! Ich weiß, dass ich um diese Aufgabe zu lösen erstmal die Summe in eine Folge umwandeln muss. (aber wie?) Danach kann ich dann den Limes berechnen (ist auch nicht meine Stärke!)
Ach ja, das Ergebnis weiß ich das lautet: m*(r/1+i-r), Aber ich brauche den LÖSUNGSWEG.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo berndfunke,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\summe_{t=0}^{T} (m*r^t)/(1+i)^t[/mm]
> Nun soll T gegen unendlich streben!
Ich nehme mal an, daß [mm]m[/mm] hier nicht von den restlichen Variablen abhängt. Dann braucht man nämlich nur noch die Reihe [mm]\text{\scriptsize$\textstyle\sum_{t=0}^T{\left(\frac{r}{1+i}\right)^t}$}[/mm] zu betrachten. Setzt man nun [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \tfrac{r}{1+i}$, [/mm] so erhält man eine geometrische Reihe.
Viele Grüße
Karl
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Sorry, es ist ne weile her, dass ich mich mit geometrischen Reihen beschäftigt habe. Wärest du so nett und würdest das etwas ausführlicher schreiben, und vor allem, wie ich aus der Reihe den Limes berechne.
Sorry stehe voll auf dem Matheschlauch... Trotzdem danke schon mal dür die Hilfe!
Viele Grüß
Bernd
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bernd!
Für die geometrische Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k$ [/mm] mit $|q| \ < \ 1$ gilt folgender Grenzwert: [mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_0}{1-q}$ [/mm] .
Nun setze bei Deiner Aufgabe [mm] $a_0 [/mm] \ = \ m$ sowie $q \ = \ [mm] \bruch{r}{1+i}$ [/mm] ein .
Gruß
Loddar
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Sorry Loddar, aber wenn ich das einsetze, dann kommt folgender Term heraus:
m*(1/(1-r/1+i) und das ist leider ungleich der richtigen Lösung:
m*(r/1+i-r)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bernd!
Um diesen Doppelbruch zu entfernen, solltest Du hir mit $(1+i)_$ erweitern.
Aber auch dann erhalte ich ein abweichendes Ergbnis mit [mm] $m*\bruch{1+i}{1+i-r}$ [/mm] .
Gibt es einen Zusammenhang zwischen $i_$ und $r_$ bzw. hast Du uns vielleicht noch eine Information vorenthalten?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar, ich habe euch nicht wirklich etwas vorentahlten. Diese Umformung stammt aus einem wissenschaftlichen Aufsatz der mehrfach(!) zitiert wird. Im Rahmen meiner einer Arbeit kann ich aber nicht einfach die Umformung hinschreiben ohne mindestens Zwischenschritte anzugeben.
Falls wirklich Interesse besteht, hier ist der Link für einen Aufsatz, in der diese Umformung steht: (das Original ist nicht frei erhältlich und auch dort stehen keine Umformungsschritte drin)
http://jsr.sagepub.com/cgi/reprint/9/2/139
dort auf Seite 141 ist es die 2. Formel.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bernd!
In welchem Zusammenhang stehen denn die Größen $(p-c)_$ , $m_$ und $r_$ ? Das hat sich mir aus dieser Quelle nicht erschlossen.
Schließlich werden dort urplötzlich neue Variablen / Größen eingeführt in der zitierten Formel:
$CLV \ = \ [mm] \summe_{t=0}^{\infty}\bruch{(p-c)*r^t}{(1+i)^t} [/mm] \ = \ [mm] m*\bruch{r}{1+i-r}$
[/mm]
Allein aus der Summenformel erhalte ich hier:
[mm] $\summe_{t=0}^{\infty}\bruch{(p-c)*r^t}{(1+i)^t} [/mm] \ = \ [mm] (p-c)*\summe_{t=0}^{\infty}\left(\bruch{r}{1+i}\right)^t [/mm] \ = \ [mm] (p-c)*\bruch{1}{1-\bruch{r}{1+i}} [/mm] \ = \ [mm] (p-c)*\bruch{1+i}{1+i-r}$
[/mm]
Voraussetzungen:
$(p-c)_$ ist unabhängig von $t_$
[mm] $\left|\bruch{r}{1+i}\right| [/mm] \ < \ 1$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 So 17.12.2006 | | Autor: | berndfunke |
Sorry ich hatte befürchtet, dass dies passieren würde. In der Originalquelle steht nicht (p-c) sondern lediglich m, d.h. (p-c)=m!
Das r ist eine Zahl zwischen 1 und Null und normalerweise kleiner als 1.
Das i ist eine Zahl zwischen 1 und Null und normalerweise kleiner als 1.
Das m ist kostant und hängt in keiner Form von r oder i ab.
Was mir noch aufgefallen ist, dass die Summe nicht von Null aus läuft sondern von 1 aber das macht keinen Unterschied.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 So 17.12.2006 | | Autor: | berndfunke |
Sorry bin jetzt selber darauf gekommen! Also das ganze war in der Quelle mathematisch nicht korrekt dargestellt. Der CLV beginnt immer von Null aus! das Gleichheitszeichen dürfte in der Quelle nicht stehen.
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