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Forum "Lineare Abbildungen" - Lin.Abb. mit Kern=Bild
Lin.Abb. mit Kern=Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lin.Abb. mit Kern=Bild: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 Mo 20.12.2010
Autor: gomer

Aufgabe
Es seien K ein Körper und (p,q) [mm] \in K^2. [/mm] Wann gibt es eine lineare Abbildung [mm] \varphi [/mm] : [mm] K^2 \to K^2 [/mm] mit Kern [mm] \varphi [/mm] = Bild [mm] \varphi [/mm] = [mm] \left\langle (p,q) \right\rangle. [/mm] Bestimmen Sie alle linearen Abbildungen mit dieser Eigenschaft, sowie deren Anzahl.

Hallo!

Ich habe mir überlegt, dass bei der Abbildung [mm] \varphi [/mm] (x,y) = (y,0), Bild und Kern übereinstimmen, aber wie konstruiert man eine Abbildung, bei der sowohl Kern als auch Bild gleich [mm] \left\langle (p,q) \right\rangle [/mm] sind? Ich kann mir das irgendwie überhaupt nicht vorstellen. Heißt es dann, dass etweder p oder q gleich 0 ist?

Danke für eure Hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Lin.Abb. mit Kern=Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Mo 20.12.2010
Autor: fred97

I) Zeige:  hat eine lineare Abb.$ [mm] \varphi [/mm] $ : $ [mm] K^2 \to K^2 [/mm] $ die Eigenschaft

             (*)  Kern $ [mm] \varphi [/mm] $ = Bild $ [mm] \varphi [/mm] $ = $ [mm] \left\langle (p,q) \right\rangle, [/mm] $

so gilt:

1. (p,q) [mm] \ne [/mm] (0,0)

2. Es ex. eine lineare Abb. [mm] $f:K^2 \to [/mm] K$ mit:  [mm] $\varphi(x,y)=f(x,y)*(p,q)$ [/mm]  und f [mm] \ne [/mm] 0

3. f(p,q) = 0.


II) Zeige:  gelten 1., 2. und 3. für eine lineare Abb.$ [mm] \varphi [/mm] $ : $ [mm] K^2 \to K^2 [/mm] $ , so folgt (*)

FRED

Bezug
                
Bezug
Lin.Abb. mit Kern=Bild: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Mo 20.12.2010
Autor: gomer

Vielen Dank für deine Antwort!

Was ich noch nicht so ganz verstehe ist, wie du auf das f(x,y) kommst und wie die linearen Abbildungen dann konkret aussehen?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Lin.Abb. mit Kern=Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:17 Di 21.12.2010
Autor: angela.h.b.


> Was ich noch nicht so ganz verstehe ist, wie du auf das
> f(x,y) kommst und wie die linearen Abbildungen dann konkret
> aussehen?

Hallo,

ich formuliere die Sache mit dem f mal etwas anders - eher christkindmäßig als weihnachtsmännlich - , in der Hoffnung, daß es so weniger erschreckend ist

Sei [mm] v:=\vektor{p\\q}\in K^2. [/mm]

Du suchst eine lineare Abbildung [mm] \varphi [/mm] : [mm] K^2\to K^2 [/mm] mit

[mm] Kern\varphi=Bild\varphi=. [/mm]

Du hast Dir schon überlegt, daß [mm] v\not=0 [/mm] sein muß.

Der [mm] K^2 [/mm] ist ein VR über K der Dimension 2.

Also gibt es ein [mm] w\in K^2, [/mm] so daß v und w zusammen eine Basis des [mm] K^2 [/mm] bilden.

Du weißt, daß lineare Abbildungen durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.

Weil [mm] Kern\varphi= [/mm] sein soll, hast Du keine andere Wahl, als daß

[mm] \varphi(v):=0 [/mm] ist.

Überleg Dir, daß [mm] \varphi(w)\not=0 [/mm] sein muß.

Jetzt bedenke, daß [mm] Bild\varphi= [/mm] gefordert ist.

Worauf muß also w abgebildet werden? [mm] \varphi(w):= [/mm] ???.


Mit
[mm] \varphi(v):=0 [/mm]
[mm] \varphi(w):=... [/mm]
liegt die lineare Abbildung eindeutig fest.

Jetzt kannst Du Dir noch überlegen, wieviele Möglichkeiten Du für die Wahl von [mm] \varphi(w) [/mm] hast. Das liefert Dir die Anzahl der Funktionen.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Lin.Abb. mit Kern=Bild: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:56 Mi 22.12.2010
Autor: gomer

Jetzt habe ich es verstanden! Ein großes Dankeschön an euch beide =)

Endlich letztes Aufgabenblatt vor den Ferien abgegeben!

Allen schöne Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!! :)

Bezug
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