Lin. Abbildung an Matrix anpa. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Rechteck $0ABCDE0$ in der Ebene [mm] \IR^{2} [/mm] mit den Punkten:
$A = [mm] \vektor{1 \\ 0}$ [/mm]
$B = [mm] \vektor{1 \\ 1}$ [/mm]
$C = [mm] \vektor{0 \\ 1}$ [/mm]
$D = [mm] \vektor{-1 \\ 1}$ [/mm]
$E = [mm] \vektor{-1 \\ 0}$ [/mm]
[mm] $\vec{0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}$ [/mm]
Bestimmen und skizzieren Sie das Bild des Rechtecks unter der linearen Abbildung $phi: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}, [/mm] die den angegebenen Matrizen entspricht. Bestimmen Sie jeweils den Rang, den Kern und das Bild der Matrix. Entscheiden Sie ob die Abbildungen injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv sind.
a) Dehnung: $M = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 3 }$
[/mm]
b) Spiegelung: $M = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }$
[/mm]
c) Drehung: $M = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & -\bruch{\wurzel{3}}{2} \\ \bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} }$
[/mm]
d) Projektion: $M = [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }$ [/mm] |
Ich hab da leider wieder ein paar Verständisprobleme...
Ich hab die Punkte: $A = [mm] \vektor{1 \\ 0}$, [/mm] $B = [mm] \vektor{1 \\ 1}$, [/mm] $C = [mm] \vektor{0 \\ 1}$, [/mm] $D = [mm] \vektor{-1 \\ 1}$, [/mm] $E = [mm] \vektor{-1 \\ 0}$, $\vec{0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}$ [/mm]
Wie sieht nun die Matrix dieser Punkte aus?
Ich schätze mal so: $M = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$, [/mm] aber wieso sieht die Matrix so aus? Gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, um von den gegebenen Punkten auf eine Matrix zu schließen?
Gut nun zu Punkt a):
Ich möchte alle Punkte bezüglich der gegebenen Matrix herausfinden, damit ichs zeichnen kann.
$M = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 3 }$
[/mm]
$A = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 0}$ [/mm]
$B = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 3}$ [/mm]
$C = [mm] \vektor{0 \\ 3}$ [/mm]
$D = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 3}$ [/mm]
$E = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 0}$ [/mm]
[mm] $\vec{0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}$ [/mm]
Bin mir aber auch nicht sicher obs so stimmt ich mach das nach folgendem Schema:
$M = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }$
[/mm]
$A = [mm] \vektor{a \\ c}$ [/mm]
$B = [mm] \vektor{a+b \\ c+d}$ [/mm]
$C = [mm] \vektor{b \\ d}$ [/mm]
$D = [mm] \vektor{b-a \\ d-c}$ [/mm]
$E = [mm] \vektor{-a \\ -c}$ [/mm]
Stimmt das so oder ist es fölliger schmafu?
Punkt b)
$M = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }$
[/mm]
$A = [mm] \vektor{0 \\ 1}$ [/mm]
$B = [mm] \vektor{1 \\ 1}$ [/mm]
$C = [mm] \vektor{1 \\ 0}$ [/mm]
$D = [mm] \vektor{1 \\ -1}$ [/mm]
$E = [mm] \vektor{0 \\ -1}$ [/mm]
Bevor ich jetzt aber noch mehr Blödsinn verzapfe, wart ich mal ab was ihr so dazu sagt.
Danke im Voraus
Lg
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> Gegeben sei das Rechteck [mm]0ABCDE0[/mm] in der Ebene [mm]\IR^{2}[/mm] mit
> den Punkten:
> [mm]A = \vektor{1 \\
0}[/mm]
> [mm]B = \vektor{1 \\
1}[/mm]
> [mm]C = \vektor{0 \\
1}[/mm]
> [mm]D = \vektor{-1 \\
1}[/mm]
> [mm]E = \vektor{-1 \\
0}[/mm]
> [mm]\vec{0} = \vektor{0 \\
0}[/mm]
>
> Bestimmen und skizzieren Sie das Bild des Rechtecks unter
> der linearen Abbildung $phi: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2},[/mm] die den
> angegebenen Matrizen entspricht. Bestimmen Sie jeweils den
> Rang, den Kern und das Bild der Matrix. Entscheiden Sie ob
> die Abbildungen injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv
> sind.
>
> a) Dehnung: [mm]M = \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\
0 & 3 }[/mm]
>
> b) Spiegelung: [mm]M = \pmat{ 0 & 1 \\
1 & 0 }[/mm]
>
> c) Drehung: [mm]M = \pmat{ \bruch{1}{2} & -\bruch{\wurzel{3}}{2} \\
\bruch{\wurzel{3}}{2} & \bruch{1}{2} }[/mm]
>
> d) Projektion: [mm]M = \pmat{ 2 & 2 \\
1 & 1 }[/mm]
>
> Ich hab da leider wieder ein paar Verständisprobleme...
>
> Ich hab die Punkte: [mm]A = \vektor{1 \\
0}[/mm], [mm]B = \vektor{1 \\
1}[/mm],
> [mm]C = \vektor{0 \\
1}[/mm], [mm]D = \vektor{-1 \\
1}[/mm], [mm]E = \vektor{-1 \\
0}[/mm],
> [mm]\vec{0} = \vektor{0 \\
0}[/mm]
>
> Wie sieht nun die Matrix dieser Punkte aus?
Hallo,
eine "Matrix dieser Punkte" ist nicht gefragt. (Was sollte das auch sein?)
Worum geht es?
Du hast 6 Punkte eines Rechtecks gegeben, deren Bild unter den in den Teilaufgaben gegebenen linearen Abbildungen
[mm] \varphi:\IR^2\to \IR^2 [/mm]
mit
[mm] \varphi(\vektor{x_1\\x_2}):=M*\vektor{x_1\\x_2} [/mm]
zu bestimmen ist.
Du brauchst zum Finden der Bilder nichts anderes zu tun, als die Ortsvektoren der Punkte mit der Matrix zu multiplizieren.
Dies hast Du ja wohl auch getan, ich habe einige Punkte geprüft.
Du solltest aber nicht das Bild von A auch mit A bezeichnen.
Schreib' z.B. A'.
Gruß v. Angela
> Ich schätze mal so: [mm]M = \pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm], aber
> wieso sieht die Matrix so aus? Gibt es eine bestimmte
> Vorgehensweise, um von den gegebenen Punkten auf eine
> Matrix zu schließen?
>
> Gut nun zu Punkt a):
> Ich möchte alle Punkte bezüglich der gegebenen Matrix
> herausfinden, damit ichs zeichnen kann.
> [mm]M = \pmat{ \bruch{1}{2} & 0 \\
0 & 3 }[/mm]
> [mm]A = \vektor{\bruch{1}{2} \\
0}[/mm]
> [mm]B = \vektor{\bruch{1}{2} \\
3}[/mm]
> [mm]C = \vektor{0 \\
3}[/mm]
> [mm]D = \vektor{-\bruch{1}{2} \\
3}[/mm]
> [mm]E = \vektor{-\bruch{1}{2} \\
0}[/mm]
> [mm]\vec{0} = \vektor{0 \\
0}[/mm]
>
> Bin mir aber auch nicht sicher obs so stimmt ich mach das
> nach folgendem Schema:
>
> [mm]M = \pmat{ a & b \\
c & d }[/mm]
> [mm]A = \vektor{a \\
c}[/mm]
> [mm]B = \vektor{a+b \\
c+d}[/mm]
> [mm]C = \vektor{b \\
d}[/mm]
> [mm]D = \vektor{b-a \\
d-c}[/mm]
> [mm]E = \vektor{-a \\
-c}[/mm]
>
> Stimmt das so oder ist es fölliger schmafu?
>
> Punkt b)
> [mm]M = \pmat{ 0 & 1 \\
1 & 0 }[/mm]
> [mm]A = \vektor{0 \\
1}[/mm]
> [mm]B = \vektor{1 \\
1}[/mm]
> [mm]C = \vektor{1 \\
0}[/mm]
> [mm]D = \vektor{1 \\
-1}[/mm]
> [mm]E = \vektor{0 \\
-1}[/mm]
>
> Bevor ich jetzt aber noch mehr Blödsinn verzapfe, wart ich
> mal ab was ihr so dazu sagt.
>
> Danke im Voraus
>
> Lg
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Alles klar, danke!
Nun hätte ich noch eine Frage zur Bestimmung ob die lin. Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
Da die Punkte a) bis c) quadratisch sind und einen vollen Rang besitzen, sind diese bijektiv.
Aber was hab ich bei Punkt d)?
Injektiv, surjektiv, oder nichts von beidem?
Injektiv bedeutet ja, dass es zu jedem Element aus der Bildermenge höchstens 1 Element aus der Urbildmenge gibt.
Surjektiv, dass es zu jedem Element aus der Bildmenge mindestens 1 Element aus der Urbildmenge gibt.
Bijektiv, dass es zu jedem Element aus der Bildmenge genau 1 Element aus der Urbildmenge gibt.
Wie überprüfe ich das allerdings bei einer Matrix?
Was ist die Urbildmenge und was die Bildmenge?
$M = [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }$
[/mm]
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Alles klar, danke!
>
> Nun hätte ich noch eine Frage zur Bestimmung ob die lin.
> Abbildungen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
>
> Da die Punkte a) bis c) quadratisch sind und einen vollen
> Rang besitzen, sind diese bijektiv.
> Aber was hab ich bei Punkt d)?
> Injektiv, surjektiv, oder nichts von beidem?
>
> Injektiv bedeutet ja, dass es zu jedem Element aus der
> Bildermenge höchstens 1 Element aus der Urbildmenge gibt.
>
> Surjektiv, dass es zu jedem Element aus der Bildmenge
> mindestens 1 Element aus der Urbildmenge gibt.
>
> Bijektiv, dass es zu jedem Element aus der Bildmenge genau
> 1 Element aus der Urbildmenge gibt.
>
> Wie überprüfe ich das allerdings bei einer Matrix?
> Was ist die Urbildmenge und was die Bildmenge?
> [mm]M = \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm]
Betrachte hier die Einheitsvektoren im [mm]\IR^{2}[/mm]
und deren Bilder.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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$ M = [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 } [/mm] $
Das Bild der Matrix M wäre ja [mm] $L\{ \vektor{2 \\ 1} \}$ [/mm] und der Rang(M) = 1, was schonmal die Bijektivität ausschließt.
Die Einheitsvektoren im [mm] \IR^{2} [/mm] sind doch [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] oder?
Die Bilder kann ich nicht bestimmen...
Das wird doch so gemacht oder:
Bild des [mm] \vec{e_1}:
[/mm]
I: 1 = [mm] 2\alpha [/mm] + [mm] 2\beta
[/mm]
II: 0 = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] -\beta
[/mm]
I: 1 = [mm] -2\beta [/mm] + [mm] 2\beta \Rightarrow [/mm] 1 = 0
Bild des [mm] \vec{e_2}:
[/mm]
I: 0 = [mm] 2\alpha [/mm] + [mm] 2\beta \Rightarrow \alpha [/mm] = [mm] -\beta
[/mm]
II: 1 = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm]
II: 1 = [mm] -\beta [/mm] + [mm] \beta \Rightarrow [/mm] 1 = 0
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Hallo dreamweaver,
> [mm]M = \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> Das Bild der Matrix M wäre ja [mm]L\{ \vektor{2 \\ 1} \}[/mm] und
> der Rang(M) = 1, was schonmal die Bijektivität
> ausschließt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Einheitsvektoren im [mm]\IR^{2}[/mm] sind doch [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] oder?
Ja.
> Die Bilder kann ich nicht bestimmen...
> Das wird doch so gemacht oder:
> Bild des [mm]\vec{e_1}:[/mm]
> I: 1 = [mm]2\alpha[/mm] + [mm]2\beta[/mm]
> II: 0 = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta \Rightarrow \alpha[/mm] = [mm]-\beta[/mm]
>
> I: 1 = [mm]-2\beta[/mm] + [mm]2\beta \Rightarrow[/mm] 1 = 0
>
> Bild des [mm]\vec{e_2}:[/mm]
> I: 0 = [mm]2\alpha[/mm] + [mm]2\beta \Rightarrow \alpha[/mm] = [mm]-\beta[/mm]
> II: 1 = [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm]
>
> II: 1 = [mm]-\beta[/mm] + [mm]\beta \Rightarrow[/mm] 1 = 0
Mit dem Bild der Matrix hast Du auch
die Bilder der Einheitsvektoren bestimmt.
Gruss
MathePower
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Hm ja ok, aber wie komme ich jetzt darauf, obs injektiv oder surjektiv ist? ^^
lg
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Hallo dreamweaver,
> Hm ja ok, aber wie komme ich jetzt darauf, obs injektiv
> oder surjektiv ist? ^^
Für die Injektivität ist der Kern der linearen Abbildung maßgebend.
>
> lg
>
Gruss
MathePower
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Gut der Kern der Matrix [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 } [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Das Bild [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Aber inwiefern wirkt sich der Kern auf die Injektivität aus?
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Moin dreamweaver,
> Gut der Kern der Matrix [mm]\pmat{ 2 & 2 \\ 1 & 1 }[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
Vorsicht mit dieser Schreibweise: Es steht da Matrix=Vektor (und das sollte man so vermeiden, um Missverständnissen vorzubeugen). Aber der Basisvektor zum Kern ist richtig
> Das Bild [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm]
>
> Aber inwiefern wirkt sich der Kern auf die Injektivität aus?
Die assoziierte lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält, was hier nicht der Fall ist.
>
LG
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Alles klar danke, gibts solch eine "Regel" auch für die Überprüfung der Surjektivität?
Lg
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> Alles klar danke, gibts solch eine "Regel" auch für die
> Überprüfung der Surjektivität?
Die Abbildung ist genau dann surjektiv, wenn ihr Bild mit dem Raum, in den abgebildet wird, übereinstimmt. Viel mehr gibt es dazu allgemein nicht zu sagen.
LG
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