Lin. Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
hab nen richtig arges Problem beim Beweis von linearer Abhängigkeit. Die Aufgabe lautet:
Welche der folgenden Mengen des [mm] \IR^3 [/mm] sind linear unabhängig, welche sind Erzeugendensysteme, welche Basen?
Die meisten Mengen die gegeben wurden, waren sehr einfach. Nur folgende Mengen bereiteten mir Probleme:
a) {(x,y,z): x+y>z}
b) {(x,y,z): 2x+3y=z}
So ich kann Beispielvektoren bilden, die die Bestimmungen erfüllen einmal so, dass sie abhängig und einmal so, dass sie unabhängig sind. Als kleinen Tip vom Tutor habe ich noch bekommen, dass man lieber auf Erzeugendensysteme hin untersuchen soll. Außerdem habe ich mir überlegt, dass b) eine Ebene darstellt (wenn ja wie beweis ich das?) und deshalb kein Erzeugendensystem ist und keine Basis. Über einen Ansatz besonders bei a wäre ich sehr dankbar.
Gruß Shaguar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:07 Di 16.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Shaguar,
> Moin,
> hab nen richtig arges Problem beim Beweis von linearer
> Abhängigkeit. Die Aufgabe lautet:
> Welche der folgenden Mengen des [mm]\IR^3[/mm] sind linear
> unabhängig, welche sind Erzeugendensysteme, welche Basen?
> Die meisten Mengen die gegeben wurden, waren sehr einfach.
> Nur folgende Mengen bereiteten mir Probleme:
>
> a) {(x,y,z): x+y>z}
> b) {(x,y,z): 2x+3y=z}
>
> So ich kann Beispielvektoren bilden, die die Bestimmungen
> erfüllen einmal so, dass sie abhängig und einmal so, dass
> sie unabhängig sind. Als kleinen Tip vom Tutor habe ich
> noch bekommen, dass man lieber auf Erzeugendensysteme hin
> untersuchen soll. Außerdem habe ich mir überlegt, dass b)
> eine Ebene darstellt (wenn ja wie beweis ich das?) und
> deshalb kein Erzeugendensystem ist und keine Basis. Über
> einen Ansatz besonders bei a wäre ich sehr dankbar.
Eine Anschauung ist tatsächlich oft hilfreich.
Um zu zeigen, dass die Menge B aus b) nicht den ganzen [mm] $\IR^3$ [/mm] aufspannt, könntest du einen Vektor hernehmen, der sich sich nicht durch Linearkombinationen von Vektoren der Menge darstellen läßt.
Ein solcher Vektor ist zum Beispiel einer, dessen Komponenten die folgende Gleichung erfüllen: 2x+3y=z+1.
Nimm' dir jetzt drei beliebige Vektoren aus B her [mm] $(x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3)$ [/mm] und zeige, dass es keine Linearkombination gibt, die (x,y,z) darstellt.
Bei a) ergibt sich ein Halbraum, also alle Punkte, die auf einer Seite der Ebene x+y=z liegen. In ihr kann man sicher drei linear unabhängige Vektoren finden (versuche sie zu finden!), weswegen allein diese drei Vektoren bereits den ganzen [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Di 16.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin Marc,
danke für die schnelle Antwort ich habe noch ein paar Rück- und Verständisfragen.
Zu b): Ich lag hier also richtig und ich kann nur sagen, dass es kein Erzeugendensystem und dadurch auch keine Basis ist und zur linearen Abhängigkeit kann ich nix sagen?
Zu a) Was genau ist ein Halbraum? Habe nirgenswo was gescheites gefunden auch die Suche auf der BronsteinCD ergab nix. Habe nur irgendwo gefunden "...Ebene(Halbraum)..."
Du schreibst x+y=z anstatt x+y>z! Heißt das, dass du mit dieser Ebende [mm] \IR^3 [/mm] teilst und das ">" so umformulierst, dass die Vektoren sich nur auf die eine Seite der Ebene beziehen?
Ich habe schon 3 Vektoren gefunden, die linear unabhängig sind und die Bedingung x+y>z erfüllen. Jetzt ist nur die Frage was ich mit den linear abhängigen mache, die kann ich ja nicht einfach so unter den Tisch fallen lassen.
Gruß Shaguar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 16.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Shaguar!
> Zu b): Ich lag hier also richtig und ich kann nur sagen,
> dass es kein Erzeugendensystem und dadurch auch keine Basis
> ist
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und zur linearen Abhängigkeit kann ich nix sagen?
Doch, dazu kannst du sagen, dass die Vektoren linear abhängig sind. Zum Beispiel ist ja der Vektor (0,0,0) enthalten, der jede menge zu einer linear abhängigen Menge von Vektoren macht 
Aber selbst wenn das nicht gelten würde, kann der Unterraum von [mm] $\IR^3$ [/mm] ja maximal 3-dimensional sein, in deiner Menge sind aber sicher mehr als Vektoren enthalten, also sind die Vektoren in der Menge automatisch linear abhängig.
> Zu a) Was genau ist ein Halbraum? Habe nirgenswo was
> gescheites gefunden auch die Suche auf der BronsteinCD
> ergab nix. Habe nur irgendwo gefunden
> "...Ebene(Halbraum)..."
Das sind alle Punkte auf einer Seite einer Ebene im Raum.
Zwei Halbräume ergeben den gesamten [mm] $\IR^3$.
[/mm]
> Du schreibst x+y=z anstatt x+y>z! Heißt das, dass du mit
> dieser Ebende [mm]\IR^3[/mm] teilst und das ">" so umformulierst,
> dass die Vektoren sich nur auf die eine Seite der Ebene
> beziehen?
Ja, genau.
Die Ebene, die entsteht, wenn man ...=z schreibt, teilt den [mm] $\IR^3$ [/mm] in zwei Hälften.
Zum Beispiel ist ja der Punkt (1,1,2) in der Ebene enthalten, und in der Menge dann alle Punkte mit x- und y-Koordinate 1 und einer z-Koordinate>2, z.B.
(1,1,2.1), (1,1,3), (1,1,4),...
Korrektur: Zum Beispiel ist ja der Punkt (1,1,2) in der Ebene enthalten, und in der Menge dann alle Punkte mit x- und y-Koordinate 1 und einer z-Koordinate<2, z.B.
(1,1,1.9), (1,1,1), (1,1,0),...[/s]
> Ich habe schon 3 Vektoren gefunden, die linear unabhängig
> sind und die Bedingung x+y>z erfüllen. Jetzt ist nur die
> Frage was ich mit den linear abhängigen mache, die kann ich
> ja nicht einfach so unter den Tisch fallen lassen.
Doch, für das Erzeugendensystem sind die linear abhängigen Vektoren überflüssig -- man kann sie mit oder ohne sie dieselben Vektoren erzeugen.
Aus diesem Grund ist das Erzeugendensystem aber auch nicht minimal, d.h., es ist keine Basis.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin Marc,
habe glaube ich einen kleinen Fehler gefunden und noch eine kleine Nachfrage.
>
> > Zu b): Ich lag hier also richtig und ich kann nur sagen,
>
> > dass es kein Erzeugendensystem und dadurch auch keine
> Basis
> > ist
>
>
>
> > und zur linearen Abhängigkeit kann ich nix sagen?
>
> Doch, dazu kannst du sagen, dass die Vektoren linear
> abhängig sind. Zum Beispiel ist ja der Vektor (0,0,0)
> enthalten, der jede menge zu einer linear abhängigen Menge
> von Vektoren macht
> Aber selbst wenn das nicht gelten würde, kann der
> Unterraum von [mm]\IR^3[/mm] ja maximal 3-dimensional sein, in
> deiner Menge sind aber sicher mehr als Vektoren enthalten,
> also sind die Vektoren in der Menge automatisch linear
> abhängig.
>
> > Zu a) Was genau ist ein Halbraum? Habe nirgenswo was
> > gescheites gefunden auch die Suche auf der BronsteinCD
>
> > ergab nix. Habe nur irgendwo gefunden
> > "...Ebene(Halbraum)..."
>
> Das sind alle Punkte auf einer Seite einer Ebene im Raum.
> Zwei Halbräume ergeben den gesamten [mm]\IR^3[/mm].
>
> > Du schreibst x+y=z anstatt x+y>z! Heißt das, dass du mit
>
> > dieser Ebende [mm]\IR^3[/mm] teilst und das ">" so umformulierst,
>
> > dass die Vektoren sich nur auf die eine Seite der Ebene
>
> > beziehen?
>
> Ja, genau.
> Die Ebene, die entsteht, wenn man ...=z schreibt, teilt
> den [mm]\IR^3[/mm] in zwei Hälften.
> Zum Beispiel ist ja der Punkt (1,1,2) in der Ebene
> enthalten, und in der Menge dann alle Punkte mit x- und
> y-Koordinate 1 und einer z-Koordinate>2, z.B.
> (1,1,2.1), (1,1,3), (1,1,4),...
Müsste hier die z-Koordinate nicht <2 heißen, weil die Vektoren, die du Aufgeschrieben hast erfüllen die Gleichung x+y>z irgendwie nicht.
> > Ich habe schon 3 Vektoren gefunden, die linear unabhängig
>
> > sind und die Bedingung x+y>z erfüllen. Jetzt ist nur die
>
> > Frage was ich mit den linear abhängigen mache, die kann
> ich
> > ja nicht einfach so unter den Tisch fallen lassen.
>
> Doch, für das Erzeugendensystem sind die linear abhängigen
> Vektoren überflüssig -- man kann sie mit oder ohne sie
> dieselben Vektoren erzeugen.
> Aus diesem Grund ist das Erzeugendensystem aber auch nicht
> minimal, d.h., es ist keine Basis.
>
> Viele Grüße,
> Marc
Vor der Bearbeitung:
Jetzt nochmal eine kleine Verständnissfrage: Die Mengen geben also beide Erzeugendsysteme von Halbräumen an aber nicht von [mm] \IR^3. [/mm] Wenn diese Aussage so stimmt hab ich es verstanden und das wäre pfett.
AHRG ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben es muss eigentlich lauten x+y>3z aber das ändert doch nur die Ebene aber nix an der Grundaussage oder?
Und jetzt nochmal nach einigem denken:
Ich habe mir nochmal die Definition von Erzeugendensystem angeschaut und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
a) x+y>3z : ist ein Erzeugendensystem keine basis lin abh. die erklärungen habe ich auch ganz gut hinbekommen.
b) 2x+3y=z ist eine Ebene: d.h. kein Erzeugendensystem von [mm] \IR^3 [/mm] keine Basis und lin abhängig.
Kann man sagen, dass b) ein Erzeugendensystem von der Ebene ist oder kann man das nur für ganze Räume sagen? (Bitte beantworte die Frage mit nein )
Jedenfalls hast du mir sehr weitergeholfen dafür danke ich dir nochmals.
Gruß Shaguar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Shaguar!
> > Zum Beispiel ist ja der Punkt (1,1,2) in der Ebene
> > enthalten, und in der Menge dann alle Punkte mit x- und
>
> > y-Koordinate 1 und einer z-Koordinate>2, z.B.
> > (1,1,2.1), (1,1,3), (1,1,4),...
>
> Müsste hier die z-Koordinate nicht <2 heißen, weil die
> Vektoren, die du Aufgeschrieben hast erfüllen die Gleichung
> x+y>z irgendwie nicht.
Ja, stimmt, natürlich, tut mir Leid, werde das in meiner ursprünglichen Antwort verbessern.
> Vor der Bearbeitung:
> Jetzt nochmal eine kleine Verständnissfrage: Die Mengen
> geben also beide Erzeugendsysteme von Halbräumen an aber
> nicht von [mm]\IR^3.[/mm] Wenn diese Aussage so stimmt hab ich es
> verstanden und das wäre pfett.
Nein, die Aussage stimmt leider nicht.
Die Menge ist ein Halbraum, erzeugt deswegen aber den ganzen [mm] $\IR^3§.
[/mm]
Ein Halbraum kann kein Vektorraum sein.
>> AHRG ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben es muss
> eigentlich lauten x+y>3z aber das ändert doch nur die Ebene
> aber nix an der Grundaussage oder?
Hab' ich mir schon gedacht, weil eine ganz ähnliche Frage fast gleichzeitig gestellt wurde.
Aber es ändert nichts am Verfahren.
> Und jetzt nochmal nach einigem denken:
>
> Ich habe mir nochmal die Definition von Erzeugendensystem
> angeschaut und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
> a) x+y>3z : ist ein Erzeugendensystem keine basis lin abh.
Du meinst es als Aufzählung, oder? Also ist ein Erzeugendensystem, keine Basis, linear abhängig.
> die erklärungen habe ich auch ganz gut hinbekommen.
> b) 2x+3y=z ist eine Ebene: d.h. kein Erzeugendensystem von
> [mm]\IR^3[/mm] keine Basis und lin abhängig.
> Kann man sagen, dass b) ein Erzeugendensystem von der
> Ebene ist oder kann man das nur für ganze Räume sagen?
> (Bitte beantworte die Frage mit nein )
Erzeugendensysteme gibt es soweit ich weiß nur für (Unter-) Vektorräume, (vielleicht auch für affine Räume, aber das ist ja nicht das Thema hier).
Diese Ebene ist ein Untervektorraum (jede Ursprungsebene ist ein Untervektorraum), also ist sie auch ein Erzeugendensystem ihrer selbst.
Was meinst du aber mit "ganzen Räumen"? Erzeugendensysteme gibt es auch für Untervektorräume (die ja auch Räume sind  ).
Viele Grüße,
Marc
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