Lin. Abhängigkeit prüfen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Fr 16.03.2007 | | Autor: | wesesa |
| Aufgabe | Man prüft lin. Abh. der Vektoren in R4 durch stufenlose eliminierung in Tabelle:
2a1 + 3a3 + 5a4 = 0
-a1 + a2 - 2a4 = 0
3a1 + a3 + 2a4 = 0
-2a2 + 4a3 + 3a4 = 0 |
Hallo, hier ist eine Lösungsmuster, kann ich leider alle Vorgänge nicht verstehen :(((
1. addieren 1 gleichung und 2-te - ist mir klar;
2. eliminieren a1 mit Hilfe der neuen ersten Gleichung aus übrigen gleichungen. Hier ist schon unklar:
a1 + a2 + 3a3 + 3a4 ist klar
2a2 + 3a3 + a4 ( vermutung: neue 1te + alte 2te)
-3a2 - 8a3 - 7a4 ( wie bekommt man das???)
-2a2 + 4a3 + 3a4 ( das auch nicht klar )
weitere Schritten sind analog, also "eliminieren..."
Kann mir bitte jemand erklären die umwandlungen in 3 und 4 zeilen?
Danke!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin.
Am besten machst du aus dem Gleichungssystem eine Matrix und formst diese dann in eine obere oder untere Dreiecksmatrix um.
[mm] \vmat{ a1 & a2 & a3 & a4 & X \\ 2 & 0 & 3 & 5 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -2 & 0\\ 3 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 4 & 3 & 0}
[/mm]
Jetzt addierst du [mm] \bruch{1}{2} [/mm] mal die 1 Zeile zur 2. Zeile dazu.
Als nächstes subtrahierst du [mm] \bruch{3}{2} [/mm] mal die 1. Zeile von der 3. Zeile.
Die 4. Zeile kannst du erst mal so lassen.
Dann sieht die Matrix so aus:
[mm] \vmat{ a1 & a2 & a3 & a4 & X \\ 2 & 0 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & \bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & \bruch{7}{2} & -\bruch{11}{2} & 0 \\ 0 & -2 & 4 & 3 & 0}
[/mm]
Als nächstes addierst du 2 mal die 2. Zeile zur 4. Zeile.
Da erhälst du:
[mm] \vmat{ a1 & a2 & a3 & a4 & X \\ 2 & 0 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & \bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & \bruch{7}{2} & -\bruch{11}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 4 & 0}
[/mm]
Jetzt musst du nur noch die 4. Zeile, 3. Spalte =0 bekommen, dann sollte das deine Eliminierung sein.
Also 2 mal die 3. Zeile von der 4. Zeile abziehen.
Das ergibt:
[mm] \vmat{ a1 & a2 & a3 & a4 & X \\ 2 & 0 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & \bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & \bruch{7}{2} & -\bruch{11}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 15 & 0}
[/mm]
So. Fertig. Wenn du das jetzt wieder in ein Gleichungssystem zurückwandelst, dann hast du eliminiert:
2*a1 + 0*a2 + 3*a3 + 5*a4 = 0
1*a2 + [mm] \bruch{3}{2}*a3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*a4 [/mm] = 0
[mm] \bruch{7}{2}*a3 [/mm] - [mm] \bruch{11}{2}*a4 [/mm] = 0
15*a4 = 0
Hoffe, ich hab mich nich verrechnet. Mit den Formatierung muss ich auch noch bissl üben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Fr 16.03.2007 | | Autor: | wesesa |
Danke für die ausführliche Antwort. Ist irgendwie verwirrend aber, dass immer oberste multiplizieren, die aber immer ungeändert bleibt, wäre "logischer", wen unterste zu oberste bringen, also 2te Zeile mit 2 multiplizieren, usw. So was geht nicht villeicht, oder?
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Ja. Man kann natürlich auch statt zur 2. Zeile [mm] \bruch{1}{2} [/mm] mal die 1. Zeile zu addieren, die 2. Zeile mit 2 multipliziern und dann die 1. Zeile zur 2. dazuaddieren.
Es geht einfach darum, zum schluss ne Matrix/Gleichungssystem rauszubekommen, das so aussieht:
[mm] \vmat{ a1 & a2 & a3 & a4 & X \\ Zahl & Zahl & Zahl & Zahl & Zahl \\ 0 & Zahl & Zahl & Zahl & Zahl \\ 0 & 0 & Zahl & Zahl & Zahl \\ 0 & 0 & 0 & Zahl & Zahl}
[/mm]
Dann kannst du in der letzten Zeile einfach ablesen was a4 ist, das dann ne Zeile drüber einsetzten --> Ablesen was für a3 rauskommt u.s.w bis nach oben durch.
Sorry das ich mich nich so gut ausdrücken kann. Ich hoffe es wird so ungefähr klar was ich meine...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Fr 16.03.2007 | | Autor: | wesesa |
Danke! Aber wenn man "umgekehrt" rechnet, kommt ganz andere Matrix vor und Gleichungssystem auch. Wenn ich immer untere multipliziere mit einer Zahl um obere zu bekommen, bekommt man volgendes System:
2 0 3 5
0 2 3 1
0 0 7/3 11/3
0 0 0 7/3
Und zweitens, wieso ist diese alles um a1,a2,a3,a4=0 zu beweisen, wenn man mit solchem Verfahren beliebige kombinationen so eliminieren kann?
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Hallo,
Was meinst Du mit "umgekehrt rechnen"?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:15 Sa 17.03.2007 | | Autor: | wesesa |
Umgekehrt, also nich wie robbythc oben beschrieben hat, dass man erste zeile mit 1/2 multipliziert, aber sodass man zweite mit 2 multiplizieren. Und da die nullen, bleiben bei multiplikation nullen, sieht alles dann alles anderes aus(siehe obige berechnungen).
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> Danke! Aber wenn man "umgekehrt" rechnet, kommt ganz andere
> Matrix vor und Gleichungssystem auch. Wenn ich immer untere
> multipliziere mit einer Zahl um obere zu bekommen, bekommt
> man volgendes System:
> 2 0 3 5
> 0 2 3 1
> 0 0 7/3 11/3
> 0 0 0 7/3
Hallo,
das ist egal - das Ergebnis zählt!
Auch Dein Ergebnis lautet [mm] a_i=0 [/mm] für i=1,2,3,4.
>
> Und zweitens, wieso ist diese alles um a1,a2,a3,a4=0 zu
> beweisen, wenn man mit solchem Verfahren beliebige
> kombinationen so eliminieren kann?
Ich verstehe nicht, was Du damit meinst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Sa 17.03.2007 | | Autor: | wesesa |
Danke! Vielleicht mir etwas aus Grundwissen fehlt. Dei Aufgabe ist 4 Vektoren auf lineare abhängigkeit prüfen. Wir machen jetzt Matrix, stufenweise elimineren, und sagen danach, dass alle koeffezienten = null sind und deswegen sind vektoren lin. unabhängig. Aber kann man alle beliebige kombinationen von 4 zahlen so stufenweise eliminieren, also auch die von lin. abhängige vektoren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:36 Sa 17.03.2007 | | Autor: | robbythc |
Meiner Meinung nach kann man nach diesem Prinzip jedes Gleichungssystem lösen.
Es kann allerdings passieren, daß nach dem Umformen die Matrix so aussieht:
[mm] \vmat{ a1 & a2 & a3 & a4 & X \\ Zahl & Zahl & Zahl & Zahl & Zahl \\ 0 & Zahl & Zahl & Zahl & Zahl \\ 0 & 0 & Zahl & Zahl & Zahl \\ 0 & 0 & 0 & 0 & Zahl} [/mm]
Das würde bedeuten, daß es keine Lösung für das Gleichungssystem gibt, da die letzte Zeile dann so lautet:
[mm] 0*a1+0*a2+0*a3+0*a4\not=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Sa 17.03.2007 | | Autor: | wesesa |
wenn alle X=0 und am ende 0*a4=0 steht, das ist kein beweis, dass a4=0 ist. Aber auch kein gegenbeweis! Also konnen wir jetzt nicht 100% sagen, dass vektoren lin. abh. sind.
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>Vielleicht mir etwas aus Grundwissen fehlt.
Hallo,
ich hoffe, Du weißt, was der Rang einer Matrix ist, das benötigst Du für die folgende Erklärung.
Ich liefere Dir ein Rezept, mit dem Du Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen kannst.
Wenn Du n Vektoren zu prüfen hast, steckst Du diese als Spalten in eine Matrix.
Als nächstes führst Du wie obe die Gauß-Elimination durch, soweit es geht.
Ist der Rang der Matrix, die Du am Ende erhältst, =n, so sind Deine n Vektoren unabhängig.
Ist der Rang der Matrix <n, so sind sie abhängig.
Beispiele:
1. Die umgeformte Matrix sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 0&1& 3&5\\0&0&1& 3\\ 0&0& 0&5}
[/mm]
oder so
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 0&1& 3&5\\0&0&1& 3\\ 0&0& 0&5\\ 0&0& 0&0\\0&0& 0&0},
[/mm]
dann sind die Vektoren linear unabhängig, denn der Rang =4 (=Anzahl der Spalten)
2. Sieht die umgeformte Matrix so aus
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 0&1& 3&5\\0&0&1& 3\\ 0&0& 0&0}
[/mm]
oder so
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 0&1& 3&5\\0&0&0& 0\\ 0&0& 0&0\\ 0&0& 0&0\\0&0& 0&0},
[/mm]
dann sind die Vektoren linear abhängig, denn der Rang ist <4.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Sa 17.03.2007 | | Autor: | wesesa |
Alles ist klar jetzt, schönen Dank!
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Hallo,
Um Deine Frage zu beantworten. Du muss a1+a2+3a3+3a4 im Kopf behalten.
Dann ist es so, die Zeile 2 wird, wie Du richtig geschrieben hast: neue 1te + alte 2te.
Zeile 3 ist dann, alte 3te - 3 mal die neue 1te
Zeile 4 überlasse ich Dir...
Ciao
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