Lin. Gleich. mit 1 Variabel < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in Abhängigkeit des realen Parameters [mm] \alpha
[/mm]
x-2y+z = [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] x+3y+2z= 0
[mm] (2+\alpha)x-y+4z [/mm] = [mm] 2\alpha [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Also ich würde gerne wissen, ob mein Lösungsansatz richtig ist:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 & \alpha \\ \alpha & 3 & 2 & 0 \\ 2+\alpha & -1 & 4 & 2\alpha }
[/mm]
det [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ \alpha & 3 & 2\\ 2+\alpha & -1 & 4 }
[/mm]
= 0
Das heist 2 der 3 Gleichungen sind jeweils linear voneinander abhängig, somit weiß ich schonmal, dass das System nicht lösbar sein wird.
Weiter gehts mit dem Untersuchen der Gesamtmatritze:
det [mm] \pmat{ -2 & 1 & \alpha \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2\alpha }
[/mm]
= 0
Somit ist der Rang beider Matritzen 2, weiter gehts mit der Untersuchung von 2 x 2 Matritzen:
det [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ \alpha & 3} [/mm] = 2 [mm] \alpha [/mm] + 3
[mm] \alpha= [/mm] -2/3
Diesen Wert darf [mm] \alpha [/mm] nicht annehmen!
det [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 4 & 2\alpha} [/mm] = [mm] \alpha [/mm]
[mm] \alpha= [/mm] 0
Diesen Wert darf [mm] \alpha [/mm] nicht annehmen!
det [mm] \pmat{ \alpha & 3 \\ 2+ \alpha -1} [/mm] = [mm] -4\alpha [/mm] - 6
[mm] \alpha= [/mm] -6 / 4 = -3/2
Diesen Wert darf [mm] \alpha [/mm] nicht annehmen!
Gut somit weiß ich welche Werte [mm] \alpha [/mm] nicht annehmen darf, damit ich weiterarbeiten kann.
Jetzt beginnt der Teil an dem ich mir am WENIGSTEN sicher bin, dass er stimmt:
Da ich das System nicht auflösen kann, bleibt mir jetzt sozusagen nurmehr die Möglichkeit x,y,z in Abhängigkeit von alpha auszudrücken, oder?
Das wäre dann:
x= [mm] \alpha [/mm] +2y -z
y= -1/3 * [mm] (2z-\alpha [/mm] x)
z=-1/4 * [mm] (\alpha [/mm] (x-2) +2x -y)
Danke im Vorraus für eure Hilfe!
lg
Zuggel
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> Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in Abhängigkeit des
> realen Parameters [mm]\alpha[/mm]
>
> x-2y+z = [mm]\alpha[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] x+3y+2z= 0
> [mm](2+\alpha)x-y+4z[/mm] = [mm]2\alpha[/mm]
> Hallo alle zusammen!
>
> Also ich würde gerne wissen, ob mein Lösungsansatz richtig
> ist:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 & \alpha \\ \alpha & 3 & 2 & 0 \\ 2+\alpha & -1 & 4 & 2\alpha }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> det [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ \alpha & 3 & 2\\ 2+\alpha & -1 & 4 }[/mm]
>
> = 0
für alle [mm] $\alpha$
[/mm]
>
> Das heist 2 der 3 Gleichungen sind jeweils linear
> voneinander abhängig, somit weiß ich schonmal, dass das
> System nicht lösbar sein wird.
Wie bitte? - Nicht eindeutig lösbar vielleicht. Wenn das System aufgrund dieser Information schon als nicht-lösbar nachgewiesen wäre, gäbe es auch keinen Grund, weiterzukalkulieren.
>
> Weiter gehts mit dem Untersuchen der Gesamtmatritze:
>
> det [mm]\pmat{ -2 & 1 & \alpha \\ 3 & 2 & 0 \\ -1 & 4 & 2\alpha }[/mm]
>
> = 0
>
> Somit ist der Rang beider Matritzen 2, weiter gehts mit der
> Untersuchung von 2 x 2 Matritzen:
Bist Du sicher, dass Du nicht besser das System einfach auf Stufenform transformieren würdest?
> det [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ \alpha & 3}[/mm] = 2 [mm]\alpha[/mm] + 3
> [mm]\alpha=[/mm] -2/3
> Diesen Wert darf [mm]\alpha[/mm] nicht annehmen!
>
> det [mm]\pmat{ 2 & 0 \\ 4 & 2\alpha}[/mm] = [mm]\alpha[/mm]
> [mm]\alpha=[/mm] 0
> Diesen Wert darf [mm]\alpha[/mm] nicht annehmen!
>
> det [mm]\pmat{ \alpha & 3 \\ 2+ \alpha -1}[/mm] = [mm]-4\alpha[/mm] - 6
> [mm]\alpha=[/mm] -6 / 4 = -3/2
> Diesen Wert darf [mm]\alpha[/mm] nicht annehmen!
>
> Gut somit weiß ich welche Werte [mm]\alpha[/mm] nicht annehmen darf,
> damit ich weiterarbeiten kann.
> Jetzt beginnt der Teil an dem ich mir am WENIGSTEN sicher
> bin, dass er stimmt:
>
> Da ich das System nicht auflösen kann, bleibt mir jetzt
> sozusagen nurmehr die Möglichkeit x,y,z in Abhängigkeit von
> alpha auszudrücken, oder?
>
> Das wäre dann:
>
> x= [mm]\alpha[/mm] +2y -z
> y= -1/3 * [mm](2z-\alpha[/mm] x)
> z=-1/4 * [mm](\alpha[/mm] (x-2) +2x -y)
>
Nee, das geht nicht: Du verwendest ja, um $x,y,z$ auszudrücken, alle Lösungsvariablen $x,y,z$! Statt dessen müsstest Du einen Teil dieser Variablen als freie Parameter [mm] $\in \IR$ [/mm] behandeln und die anderen mit Hilfe dieser freien Parameter und [mm] $\alpha$ [/mm] alleine ausdrücken können. Was Du hier schreibst, ist nach wie vor ein lineares Gleichungssystem für $x,y,z$ mit dem Formparameter [mm] $\alpha$. [/mm] Wenn dies gut genug wäre, hättest Du auch gleich das ursprüngliche Gleichungssystem doppelt unterstreichen und als Lösung präsentieren können 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:05 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Da hast du natürlich Recht....
Aber wie soll ich das dann sonst angehen? Stimmt es aber, dass ich das System mit den 2x2 Matritzen untersuchen muss?
Ich verstehe nicht genau was du mit "System einfach auf Stufenform transformieren" meinst, könntest du das etwas erläutern?
Also wenn die Determinante der ganzen Matritze 0 ergibt, so ist die Matritze für alle [mm] \alpha [/mm] gültig, also muss ich die 2x2 Matritzen nichtmehr untersuchen?
Dankesehr
lg
Christian
Revision: Also das mit der Stufenform habe ich jetzt gegoogelt- jedoch ist es mir ein Rätsel, wie ich das hier anwenden könnte, ich bekomme doch immer eine Variable in Abhängigkeit einer anderen heraus...?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Zuggel,
kennst Du nur dieses Lösungsverfahren?
Oder sollst Du die Aufgabe laut Vorgabe mit Determinanten lösen?
Weil: Ich würde hier mit dem Gauß-Verfahren arbeiten!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Wenn du mit Gauß-Verfahren das Eliminations-Verfahren meinst, dann kenne ich dieses auch.
Also sozusagen:
1) x-2y+z= [mm] \alpha [/mm]
2) [mm] \alpha [/mm] x +3y+2z= 0
1) / [mm] *-\alpha
[/mm]
also:
1) [mm] -\alpha [/mm] * x [mm] +2\alpha [/mm] * y + [mm] \alpha [/mm] z = [mm] -\alpha [/mm] ²
2) [mm] \alpha [/mm] x +3y+2z= 0
= 0 + [mm] 2\alpha [/mm] * y +3y + [mm] \alpha [/mm] z +2z = [mm] -\alpha [/mm] ²
Soll das dann so aussehen?
lg
Dankesehr
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 12.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Wenn du mit Gauß-Verfahren das Eliminations-Verfahren
> meinst, dann kenne ich dieses auch.
>
So ist es. Aber du hast drei Gleichungen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Davon sind ja 2 voneinander linear abhängig, spielt das nicht zur Rolle?
Die Determinante der Matritze war ja 0, also ist es doch so, dass der Rang der Matritze 2 ist, und wenn die Anzahl der unabhängigen Zeilen die Anzahl der Variabeln unterschreitet, dann habe ich ein Problem, oder etwa nicht?
Nun gut, aber machen wir das Spiel weiter:
1) [mm] -\alpha [/mm] * x [mm] +2\alpha [/mm] * y + [mm] \alpha [/mm] z = [mm] -\alpha [/mm] ²
2) [mm] \alpha [/mm] x +3y+2z= 0
= 0 + [mm] 2\alpha [/mm] * y +3y + [mm] \alpha [/mm] z +2z = [mm] -\alpha [/mm] ²
--
1) [mm] 2\alpha [/mm] * y +3y + [mm] \alpha [/mm] z +2z = [mm] -\alpha [/mm] ²
2) (2+a)x-y+4z=2a
1) => (2a+3)y +(2+a)z=-a²
2) (2+a)x-y+4z=2a
Dadurch, dass ich das Verfahren jetzt schon sehr sehr lange nichtmehr benutzt habe bekomme ich an dieser Stelle Probleme, das x taucht wieder auf in der Formel.
Oder habe ich jetzt den falschen Weg eingeschlagen und muss folgendes machen:
1) ax +3y+2z=0
2) (2+a)x-y+4z=2a
hier wieder das x eliminieren, dann das Ergebnis mit: (2a+3)y +(2+a)z=-a² gleichsetzen und somit y oder z ausrechnen? Aber hier habe ich wieder z oder y in Abhängigkeit voneinander...
Das war heute wohl etwas zu viel und zu lange über den Mathe Büchern, tut mir leid, wenn ich mich etwas schräg anstelle...
Danke für die liebevolle Unterstützung!
lg
Zuggel
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Hi, Zuggel,
> Wenn du mit Gauß-Verfahren das Eliminations-Verfahren
> meinst, dann kenne ich dieses auch.
>
> Also sozusagen:
>
> 1) x-2y+z= [mm]\alpha[/mm]
> 2) [mm]\alpha[/mm] x +3y+2z= 0
>
> 1) / [mm]*-\alpha[/mm]
>
> also:
>
> 1) [mm]-\alpha[/mm] * x [mm]+2\alpha[/mm] * y + [mm]\alpha[/mm] z = [mm]-\alpha[/mm] ²
> 2) [mm]\alpha[/mm] x +3y+2z= 0
> = 0 + [mm]2\alpha[/mm] * y +3y + [mm]\alpha[/mm] z +2z = [mm]-\alpha[/mm] ²
Schon, schon, aber kennst Du nicht die vereinfachte Schreibweise?
(Mich stört übrigens das [mm] \alpha [/mm] - ich schreib' mal "a" dafür!)
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 & | & a \\ a & 3 & 2 & | & 0 \\ (2+a) & -1 & 4 & | & 2a }
[/mm]
Und daraus (nach entsprechender Multiplikation und Addition der Zeilen)
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 & | & a \\ 0 & (3+2a) & (2-a) & | & -a^{2} \\ 0 & (3+2a) & (2-a) & | & -a^{2} }
[/mm]
Und wenn Du nun noch die letzten beiden Zeilen subtrahierst:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 & | & a \\ 0 & (3+2a) & (2-a) & | & -a^{2} \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 }
[/mm]
Da dieses LGS - wie wir schon wissen - FÜR JEDES FESTE a - unendlich viele Lösungen besitzt,
führst Du am besten einen Parameter ein, sagen wir: z = [mm] \lambda,
[/mm]
und berechnest x und y in Abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] (und natürlich auch in Abhängigkeit von a - aber das hätt' ich wohl nicht erwähnen müssen!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Jetzt machts klick ;)
[mm] \alpha [/mm] = a
I) x-2y+z =a
II) ax+3y+2z=0
III) (2+a)x -y +4z= 2a
Ich habe das jetzt wie folgt gelöst:
Elimination von y durch:
I) * 3/2
+ II)
=
3/2x - 3y +3/2z = 3/2 a
ax +3y +2z =0
=
IV) (3/2+a)x + (3/2+2)z=3/2a
II)
+ 3* III)
=
ax + 3y +2z=0
(6+3a)x - 3y +12z=6a
=
V) (4a+6)x +12z=6a
IV) * (-4)
+ V)
=
(3/2 +a)x +7/2z = 3/2a /*(-4)
(4a +6)x + 12z = 6a
=
-6x -4ax - 14z = -6a /*(-4)
6x +4x + 12z = 6a
z=0
x= [mm] \bruch{6a}{4a+6}
[/mm]
y= [mm] \bruch{-a²}{2a+3}
[/mm]
Stimmt das jetzt also so?
Danke für eure Hilfe
lg
Zuggel
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Hi, Zuggel,
> Jetzt machts klick ;)
>
> [mm]\alpha[/mm] = a
>
> I) x-2y+z =a
> II) ax+3y+2z=0
> III) (2+a)x -y +4z= 2a
>
> Ich habe das jetzt wie folgt gelöst:
>
> Elimination von y durch:
>
> I) * 3/2 + II) = > 3/2x - 3y +3/2z = 3/2 a
> ax +3y +2z =0
> =
> IV) (3/2+a)x + (3/2+2)z=3/2a
>
> II) + 3* III) =
> ax + 3y +2z=0
> (6+3a)x - 3y +12z=6a
> =
> V) (4a+6)x +12z=6a
>
> IV) * (-4) + V)
> =
> (3/2 +a)x +7/2z = 3/2a /*(-4)
> (4a +6)x + 12z = 6a
> =
>
> -6x -4ax - 14z = -6a /*(-4)
> 6x +4x + 12z = 6a
>
> z=0
Hallo?!
Wir waren uns doch bereits darüber einig, dass das Gleichungssystem NICHT eindeutig lösbar ist,
dass es also für jedes a UNENDLICH VIELE Lösungen gibt!
Daher erhältst Du für z=0 NUR EINE EINZIGE dieser vielen Lösungen!
Du kommst nicht drumrum:
Du MUSST z = [mm] \lambda [/mm] setzen!!!!!!!!!!!!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ach herrje!
Also bringe ich x / y in Abhängigkeit von z bzw. [mm] \lambda [/mm] und fertig ist die Sache...
Nun, dann meine Frage:
Wie kommst du auf:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 & | & a \\ 0 & (3+2a) & (2-a) & | & -a^{2} \\ 0 & (3+2a) & (2-a) & | & -a^{2} } [/mm]
Ich schaffe es zwar durch Multiplikation I) mit [mm] -\alpha [/mm] und II) in eine Solche Form zu bringen, jedoch schaffe ich es nicht für die 3. Zeile...
Wie bist du da vorgegangen?
Tut mir leid, hab das mit dem [mm] \lambda [/mm] komplett verpeilt als ich mit Eifer dabei war das ganze zu Lösen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mo 14.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Immer ein vielfaches der ersten Zeile abziehen, um den ersten Eintrag auf 0 zu bringen also III-(2+a)*I
Gruss leduart
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