Lin. Gleichungen über F_p < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für welche Primzahlen p besitzt das LGS
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
5 & -1
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} [/mm]
über dem Körper [mm] F_p [/mm] eine (beziehungsweise eine eindeutige) Lösung? Hinweis: Über den Körper [mm] F_p [/mm] müssen Sie nur wissen, dass darin die Division durch alle ganzen Zahlen, welche nicht durch p teilbar sind, möglich ist. Lösen Sie das LGS zunächst über dem Körper [mm] \IQ [/mm] und überlegen Sie dann, für welche Primzahlen p diese Rechnung genauso ausgeführt werden kann. Für die verbleibenden Primzahlen analysieren Sie die Situation separat. |
Hallo,
die Matrix habe ich aufgelöst und die Werte [mm] a=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] b=\bruch{2}{3} [/mm] erhalten.
Somit lautet meine Lösung über [mm] \IQ:\vektor{ \bruch{1}{3}\\ \bruch{2}{3}}.
[/mm]
Dann könnte man vielleicht eine Fallunterscheidung machen, so in etwa:
1.) Untersuchung des LGS für alle geraden Primzahlen; somit nur für die 2
2.) Untersuchung des LGS für alle ungeraden Primzahlen.
Bin ich da auf dem richtigen Weg?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche Primzahlen p besitzt das LGS
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> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
5 & -1
\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}[/mm]
>
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> über dem Körper [mm]F_p[/mm] eine (beziehungsweise eine
> eindeutige) Lösung?
Hallo,
was du angibst, ist kein Gleichungssystem, sondern
eine schon formal falsche Aussage ...
Gemeint hast du vermutlich:
[mm] $\pmat{1&1\\5 & -1}*\pmat{x\\y}=\pmat{1\\1}$ [/mm]
LG Al
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Sorry, wenn ich das technisch zwar nicht so gut hingekommen habe mit der Matrix, aber das zweite ist der Lösungsvektor.
VG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:39 Fr 06.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was entspricht 1/3 etwa in [mm] F_5 [/mm] oder [mm] F_7
[/mm]
ich rechne dir mal vor, wie man in [mm] F_7 [/mm] rechnen würde.
x+y=1
5x-y=1 Addition der 2 Gl
6x=2 Multiplikation mit dem Inversen von 2 in [mm] F_7 [/mm] also 4 denn 4*2=1mod7
ergibt
6*4x=1 24=3mod7
also 3x=1 bis dahin hättest du auch noch wie in Q rechnen können, da du ja weisst dass die Inversen existieren.
aber jetzt gibt es 1/3 nicht, das entspricht aber dem Inversen von 3 also 5 denn 3*5=1mod 7
deine Ergebnis in [mm] F_7 [/mm] waere also x=inv(3)mod 7 hier also 5
in [mm] F_5 [/mm] wäre es ebenso x=inv(3)mod5 hier also x=2mod5
aber du musst ja etwa in [mm] F_{37} [/mm] die Lösung nicht angeben sondern du weisst dass es inv(3) mod37 gibt. und es geht ja nur um die Existenz von Lösungen.
So welche Primzahlen bleiben da übrig?
Gruss leduart
PS 2/3=2*Inv(3)
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