Lin. Inhomogene DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 So 20.03.2011 | | Autor: | Bayer04 |
| Aufgabe | Lösen Sie die DGL:
[mm] y^{''}-4y^{'}+8y [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] |
Hallo,
dar meine Klausur nun immer näher rückt, benötige ich nochmals euren Rat zu der o.g. Aufgabe.
Mein Ansatz ist, dass ich zuerst den homog. Teil löse, sprich das charakt. Polynom aufstelle:
[mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^{2}-4\lambda+8=0
[/mm]
daraus erhalte ich ein Fundamentalsystem von:
[mm] y_{1}(x) [/mm] = [mm] e^{2x}cos(2x)
[/mm]
[mm] y_{2}(x) [/mm] = [mm] e^{2x}sin(2x)
[/mm]
--> [mm] y_{hom}(x) [/mm] = [mm] C_{1}*e^{2x}cos(2x) [/mm] + [mm] C_{2}*e^{2x}sin(2x)
[/mm]
doch wie erhalte ich nun die allgemeine Lösung der DGL?
Also den partikulären Teil?
In der Musterlösung steht folgendes:
[mm] y_{inhom}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{32}(4x^{2}+4x^{}+1) [/mm] + [mm] C_{1}*e^{2x}cos(2x) [/mm] + [mm] C_{2}*e^{2x}sin(2x)
[/mm]
ich kann nicht nachvollziehen woher der Teil mit dem [mm] \bruch{1}{32}(4x^{2}+4x^{}+1) [/mm] herkommt.
Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
LG
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Hallo Bayer04,
> Lösen Sie die DGL:
>
> [mm]y^{''}-4y^{'}+8y[/mm] = [mm]x^{2}[/mm]
> Hallo,
>
> dar meine Klausur nun immer näher rückt, benötige ich
> nochmals euren Rat zu der o.g. Aufgabe.
>
> Mein Ansatz ist, dass ich zuerst den homog. Teil löse,
> sprich das charakt. Polynom aufstelle:
>
> [mm]P(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^{2}-4\lambda+8=0[/mm]
>
> daraus erhalte ich ein Fundamentalsystem von:
>
> [mm]y_{1}(x)[/mm] = [mm]e^{2x}cos(2x)[/mm]
> [mm]y_{2}(x)[/mm] = [mm]e^{2x}sin(2x)[/mm]
>
> --> [mm]y_{hom}(x)[/mm] = [mm]C_{1}*e^{2x}cos(2x)[/mm] +
> [mm]C_{2}*e^{2x}sin(2x)[/mm]
>
> doch wie erhalte ich nun die allgemeine Lösung der DGL?
> Also den partikulären Teil?
>
> In der Musterlösung steht folgendes:
>
> [mm]y_{inhom}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{32}(4x^{2}+4x^{}+1)[/mm] +
> [mm]C_{1}*e^{2x}cos(2x)[/mm] + [mm]C_{2}*e^{2x}sin(2x)[/mm]
>
>
> ich kann nicht nachvollziehen woher der Teil mit dem
> [mm]\bruch{1}{32}(4x^{2}+4x^{}+1)[/mm] herkommt.
Da es bei der Störfunktion [mm]x^{2}[/mm] um ein Polynom 2. Grades handelt,
macht man diesen Ansatz auch für die parikuläre Lösung:
[mm]y_{p}\left(x\right)=a*x^{2}+b*x+c[/mm]
Einsetzen in die DGL und anschliessender ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich
liefert die Koeffizienten a,b,c und somit auch die partikuläre Lösung.
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> Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> LG
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Gruss
MathePower
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