Lin. Unabh. von Funktionen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f(x) ein Polynom von Grad n in [mm] P_n(\IR). [/mm] Zeige, dass f(x), f'(x), f''(x), ..., [mm] f^{(n)}(x) [/mm] linear unabhängig sindin [mm] P_n(\IR), [/mm] wobei [mm] f^{(k)}(x) [/mm] die k-te Ableitung von f(x) ist. |
Hallo :)
hier habe ich wirklich ein Problem mit. Was man ja machen muss, ist auf jeden Fall erst mal das:
[mm] a_1*f(x) [/mm] + [mm] a_2*f'(x) [/mm] + ... + [mm] a_n*f^{(n)}(x) [/mm] = 0, [mm] a_1, a_2, ...,a_n \in \IR
[/mm]
Nur wie kann ich jetzt so allgemein zeigen, dass die Funktionen linear unabhängig sind, zumal sie ja Polynome beliebigen Grades sind?
Ich bin für jede Hilfe wie immer sehr dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 14.09.2014 | | Autor: | hippias |
Tip: betrachte den Grad der Polynome $f, [mm] f',\ldots, f^{(n)}$.
[/mm]
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Sorry, aber ich komm auch hiermit nicht wirklich weiter. Auch wenn es vielleicht "offensichtlich" ist, sehe ich es leider nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 So 14.09.2014 | | Autor: | abakus |
> Sorry, aber ich komm auch hiermit nicht wirklich weiter.
> Auch wenn es vielleicht "offensichtlich" ist, sehe ich es
> leider nicht...
Hallo,
nehmen wir doch mal ein Polynom 2. Grades, z.B.
[mm] $f(x)=x^2+6x-3$.
[/mm]
Dann ist $f'(x)=2x+6$ und f''(x)=2.
Du suchst nun reelle Faktoren a, b, c, von denen mindestens einer NICHT Null ist und wo trotzden
[mm] $a*(x^2+6x-3)+b*(2x+6)+c*2=0$ [/mm] herauskommen soll (und das soll nicht nur für ein einzelnes x so sein, sondern für alle x, also der Term soll identisch 0 werden).
Es ist klar, dass man aus diesem Term das in a*6x und b*2x enthaltene "x" mit geeigneten Werten von a und b (z.B. mit a=1 und b=-3) auf 0*x und damit auf 0 bringen kann.
Nun überlege mal, wie man die höchste vorkommende Potenz von x loswerden könnte (wenn überhaupt).
Gruß Abakus
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Ok, also, entweder steh ich vollkommen auf dem Schlauch oder ich bin einfach nicht gut genug in der Lage, sowas zu analysieren. Mit konkreten Funktionen leuchtet mir das Ganze ja sogar ein, nur wenn ich theoretisch unendlich viele Funktionen habe (weil ja nirgendwo steht, dass n endlich ist), dann seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
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> Ok, also, entweder steh ich vollkommen auf dem Schlauch
> oder ich bin einfach nicht gut genug in der Lage, sowas zu
> analysieren. Mit konkreten Funktionen leuchtet mir das
> Ganze ja sogar ein, nur wenn ich theoretisch unendlich
> viele Funktionen habe (weil ja nirgendwo steht, dass n
> endlich ist),
Hallo,
doch, n ist endlich:
Der Grad ist doch die größte Potenz von x, die vorkommt, und die ist nicht unendlich.
LG Angela
> dann seh ich den Wald vor lauter Bäumen
> nicht mehr.
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Hey, klar ist n nicht unendlich im Sinne von [mm] \infty [/mm] aber n kann im Prinzip doch jede x-beliebige Zahl sein, oder? Es ist auf jeden Fall abstrakt und nicht konkret, das ist eigentlich, was ich sagen wollte :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 So 14.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, klar ist n nicht unendlich im Sinne von [mm]\infty[/mm] aber n
> kann im Prinzip doch jede x-beliebige Zahl sein, oder? Es
> ist auf jeden Fall abstrakt und nicht konkret, das ist
> eigentlich, was ich sagen wollte :)
das Schöne ist, dass man das Spezielle hier ins Allgemeine übertragen kann.
Sei [mm] $f\,$ [/mm] jetzt aus Demonstrationsgründen ein Polynom vom Grad
[mm] $\red{n=3\,.}$
[/mm]
Wir betrachten
[mm] ($\*$) $\sum_{k=0}^\red{3} r_k f^{(k)}(x) \equiv [/mm] 0$
und haben zu zeigen, dass diese Identität nur dann wahr sein kann, wenn
alle [mm] $r_k=0$ [/mm] sind.
Die Vorgehensweise wird Dir bekannt vorkommen, denn sowas ähnliches
hast Du eigentlich schon mal gemacht, und zwar
hier (klick!).
Wir leiten [mm] ($\*$) [/mm] ab und erhalten
(1) [mm] $\sum_{k=0}^{\red{3}} r_k f^{(k+1)}(x)\equiv \sum_{k=0}^{\red{3}-1} r_{k} f^{(k+1)}(x) \equiv 0\,.$
[/mm]
Frage an Dich: Warum? Hinweis: Was ist [mm] $f^{(n+1)}$, [/mm] wenn [mm] $f\,$ [/mm] eine Polynomfunktion
vom Grad [mm] $n\,$ [/mm] ist?
Wir wiederholen das ...
Nach [mm] $\red{3}$ [/mm] Mal ableiten haben wir
[mm] ($\red{3}$) $\sum_{k=0}^{\red{3}-\red{3}}r_k f^{(k+\red{3})}(x) =r_0 f^{(\red{3})}(x)\equiv [/mm] 0$
Aus [mm] ($\red{3}$) [/mm] folgt
[mm] $r_0=0\,,$
[/mm]
weil ja [mm] $f^{(\red{3})}=\text{const} \not=0$ [/mm] sein muss, da [mm] $f\,$ [/mm] eine Polynomfunktion
vom Grad [mm] $n=3\,$ [/mm] war.
Mit [mm] $(\red{3}-1)$ [/mm] bzw. [mm] ($2\,$) [/mm] folgt
[mm] $r_1=0\,,$
[/mm]
weil...
Somit kannst Du [mm] $r_0=...=r_{\red{3}-1}=0$ [/mm] folgern. Dies setzt Du noch in [mm] ($\*$) [/mm] ein
und es folgt auch
[mm] $r_\red{3}=...$ [/mm] ?
So, und jetzt das Ganze einfach allgemein machen und aufschreiben (wobei
ich nicht sage, dass es nicht vielleicht einen eleganteren Weg gibt).
Gruß,
Marcel
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Ok, vielen Dank, ich denke, das hat geholfen. Ich schildere hier mal, was ich aufgeschrieben habe, und hoffe, dass es stimmt :)
Also, ich beginne mit einem Polynom f von Grad n.
[mm] \summe_{k=0}^{n}r_{k}f{k}(x) \equiv [/mm] 0, wobei alle [mm] r_k [/mm] = 0 sein müssen.
Wenn ich das jetzt ableite, erhalte ich:
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}r_{k}f^{(k+1)}(x) \equiv [/mm] 0, wobei wieder alle [mm] r_k [/mm] = 0 sein müssen.
Wenn ich das jetzt weiterspinne bis (n-1), kriegt man:
[mm] \summe_{k=0}^{n-(n-1)}r_{k}f^{(k+(n-1))}(x) \equiv [/mm] 0 (alle [mm] r_k [/mm] = 0).
Und für n:
[mm] \summe_{k=0}^{n-n}r_{k}f^{(k+n)}(x) \equiv [/mm] 0 = [mm] r_{0}f^{n}(x) [/mm] = 0
Hieraus folgt, dass [mm] r_0 [/mm] = 0 sein muss, weil (wie du schon erwähntest) f ein Polynom von Grad n war und es gilt f = konstant [mm] \not= [/mm] 0.
Wenn ich [mm] r_0 [/mm] = 0 jetzt in die (n-1)te Ableitung einsetze
[mm] \summe_{k=0}^{n-(n-1)}r_{k}f^{(k+(n-1))}(x) \equiv [/mm] 0 = [mm] 0*f^{(n-1)}(x) [/mm] + [mm] r_{1}f^{(n)}(x) [/mm] = 0
muss [mm] r_1 [/mm] auch null sein.
Das kann ich immer weitermachen, bis ich bei der Ausgangsfunktion angelangt bin. Bis dahin habe ich [mm] r_0 [/mm] = [mm] r_1 [/mm] = [mm] \cdots [/mm] = [mm] r_{n-1} [/mm] = 0. Dann bleibt nur noch übrig:
[mm] r_{n}f^{(n)}(x) [/mm] = 0
woraus dann folgt, dass auch [mm] r_n [/mm] = 0 sein muss. Somit sind alle [mm] r_k [/mm] = 0 und ein Polynom f von Grad n und all seine Ableitungen sind linear unabhängig in [mm] P_2(\IR).
[/mm]
Ist das so richtig? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, vielen Dank, ich denke, das hat geholfen. Ich schildere
> hier mal, was ich aufgeschrieben habe, und hoffe, dass es
> stimmt :)
>
> Also, ich beginne mit einem Polynom f von Grad n.
>
> $ [mm] \summe_{k=0}^{n}r_{k}f{k}(x) \equiv [/mm] $ 0,
Du meintest
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]\summe_{k=0}^{n}r_{k}f^{(k)}(x) \equiv[/mm] 0
> wobei alle [mm]r_k[/mm] = 0
> sein müssen.
Was meinst Du mit dem Satzanhängsel "wobei alle [mm] $r_k=0$ [/mm] sein müssen".
Das darfst Du natürlich nicht fordern. Wir wollen doch am Ende sehen, dass
[mm] $r_0=0,$ ...$,\,r_n=0$ [/mm] zwingend aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgt.
Du kannst höchstens schreiben, dass wir zu zeigen haben, dass alle [mm] $r_k=0$
[/mm]
sein müssen. Also anstatt
"..., wobei alle [mm] $r_k=0$ [/mm] sein müssen."
schreibst Du bitte:
"..., wobei wir zu zeigen haben, dass alle [mm] $r_k=0$ [/mm] sein müssen."
> Wenn ich das jetzt ableite, erhalte ich:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}r_{k}f^{(k+1)}(x) \equiv[/mm] 0, wobei wieder
> alle [mm]r_k[/mm] = 0 sein müssen.
Bzgl. des Satzanhängsels: S.o.! Und natürlich gilt das immer noch für [mm] $r_0,...,r_n$
[/mm]
und nicht nur für [mm] $r_0,...,r_{n-1}\,.$
[/mm]
> Wenn ich das jetzt weiterspinne bis (n-1), kriegt man:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-(n-1)}r_{k}f^{(k+(n-1))}(x) \equiv[/mm] 0 (alle
> [mm]r_k[/mm] = 0).
>
> Und für n:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-n}r_{k}f^{(k+n)}(x) \equiv[/mm] 0 =
> [mm]r_{0}f^{n}(x)[/mm] = 0
Anstatt [mm] $f^n$ [/mm] bitte [mm] $f^{(n)}$ [/mm] schreiben!
> Hieraus folgt, dass [mm]r_0[/mm] = 0 sein muss, weil (wie du schon
> erwähntest) f ein Polynom von Grad n war und es gilt f =
> konstant [mm]\not=[/mm] 0.
Nicht [mm] $f\,$ [/mm] ist konstant, sondern [mm] $f^{(n)}\,.$
[/mm]
> Wenn ich [mm]r_0[/mm] = 0 jetzt in die (n-1)te Ableitung einsetze
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n-(n-1)}r_{k}f^{(k+(n-1))}(x) \equiv[/mm] 0 =
> [mm]0*f^{(n-1)}(x)[/mm] + [mm]r_{1}f^{(n)}(x)[/mm] = 0
>
> muss [mm]r_1[/mm] auch null sein.
>
> Das kann ich immer weitermachen, bis ich bei der
> Ausgangsfunktion angelangt bin. Bis dahin habe ich [mm]r_0[/mm] =
> [mm]r_1[/mm] = [mm]\cdots[/mm] = [mm]r_{n-1}[/mm] = 0. Dann bleibt nur noch übrig:
>
> [mm]r_{n}f^{(n)}(x)[/mm] = 0
>
> woraus dann folgt, dass auch [mm]r_n[/mm] = 0 sein muss. Somit sind
> alle [mm]r_k[/mm] = 0 und ein Polynom f von Grad n und all seine
> Ableitungen sind linear unabhängig in [mm]P_2(\IR).[/mm]
>
> Ist das so richtig? :)
Bis auf (vermutlich) Verschreiber: Ja! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
P.S. Hast Du Freds Argumentation auch verstanden? Er begründet kurz
mit den Nullstellen, dass, in obiger Notation, nur [mm] $r_0=0$ [/mm] gelten kann. Diese
Erkenntnis setzt man in [mm] $(\star)$ [/mm] ein und sieht:
Mit der gleichen Argumentation folgt dann [mm] $r_1=0$ [/mm] usw..
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich hab' Dir mal die *Musterlösungen* in Latex abgetippt - natürlich bitte
nicht ausdrucken und abgeben. 
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Lösung
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mo 15.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f(x) ein Polynom von Grad n in [mm]P_n(\IR).[/mm] Zeige, dass
> f(x), f'(x), f''(x), ..., [mm]f^{(n)}(x)[/mm] linear unabhängig
> sindin [mm]P_n(\IR),[/mm] wobei [mm]f^{(k)}(x)[/mm] die k-te Ableitung von
> f(x) ist.
> Hallo :)
>
> hier habe ich wirklich ein Problem mit. Was man ja machen
> muss, ist auf jeden Fall erst mal das:
>
> [mm]a_1*f(x)[/mm] + [mm]a_2*f'(x)[/mm] + ... + [mm]a_n*f^{(n)}(x)[/mm] = 0, [mm]a_1, a_2, ...,a_n \in \IR[/mm]
Nicht gabnz richtig, sondern
[mm]a_1*f(x)[/mm] + [mm]a_2*f'(x)[/mm] + ... + [mm]a_{n+1}*f^{(n)}(x)[/mm] = 0, [mm]a_1, a_2, ...,a_n, a_{n+1} \in \IR[/mm]
Wir haben also
[mm]a_1*f(x)[/mm] + [mm]a_2*f'(x)[/mm] + ... + [mm]a_{n+1}*f^{(n)}(x)[/mm] = 0 für alle(!) x [mm] \in \IR.
[/mm]
Das Polynom
[mm] p:=a_1f+a_2f'+...+a_{n+1}f^{(n)}
[/mm]
hat also unendlich viele Nullstellen. Iat [mm] a_1 \ne [/mm] 0, so hat p den Grad n. Kann dann wirklich [mm] a_1 \ne [/mm] 0 sein ?
FRED
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> Nur wie kann ich jetzt so allgemein zeigen, dass die
> Funktionen linear unabhängig sind, zumal sie ja Polynome
> beliebigen Grades sind?
>
> Ich bin für jede Hilfe wie immer sehr dankbar :)
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