Linear unabhängig < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 18.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
| Aufgabe | Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K und [mm] v_1, v_2, v_3 \in [/mm] V. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
Wenn [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig ist, dann ist [mm] (v_1 [/mm] + [mm] v_2, v_2 [/mm] + [mm] v_3, v_3 [/mm] + [mm] v_1 +v_2) [/mm] linear unabhängig. |
Wie gehe ich nun an die Aufgabe heran? Ich hab's bis jetzt so verstanden, dass linear unabhängig bedeutet, dass die gesamte Linearkombination 0 ergibt, aber auch jedes Element 0 ist. Also wäre das letzte Element [mm] (v_3 [/mm] + [mm] v_1 +v_2) [/mm] auf jeden Fall schon linear unabhängig, wenn [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] es auch ist. Oder liege ich da falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Hummel89,
> Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum über K und [mm]v_1, v_2, v_3 \in[/mm]
> V. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
>
> Wenn [mm](v_1, v_2, v_3)[/mm] linear unabhängig ist, dann ist [mm](v_1[/mm] +
> [mm]v_2, v_2[/mm] + [mm]v_3, v_3[/mm] + [mm]v_1 +v_2)[/mm] linear unabhängig.
> Wie gehe ich nun an die Aufgabe heran? Ich hab's bis jetzt
> so verstanden, dass linear unabhängig bedeutet, dass die
> gesamte Linearkombination 0 ergibt, aber auch jedes Element
> 0 ist. Also wäre das letzte Element [mm](v_3[/mm] + [mm]v_1 +v_2)[/mm] auf
> jeden Fall schon linear unabhängig, wenn [mm](v_1, v_2, v_3)[/mm] es
> auch ist. Oder liege ich da falsch?
Stelle zunächst diese Gleichung der Linearkombinationen auf:
[mm]\alpha * \left(v_{1}+v_{2}\right) + \beta * \left(v_{2}+v_{3}\right) + \gamma * \left(v_{1}+v_{2}+v_{3}\right)=0[/mm]
Führe die dann zurück auf die lineare Unabhängigkeit von [mm]v_{1}, \ v_{2}, \ v_{3}[/mm]:
[mm]\mu * v_{1}+ \nu * v_{2} + \rho * v_{3}=0[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 18.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Ich konnte das bis jetzt nur auf die Form
[mm] v_1(\alpha [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] + [mm] v_2 (\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] + [mm] v_3 (\beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] bringen.
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> Ich konnte das bis jetzt nur auf die Form
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> [mm]v_1(\alpha[/mm] + [mm]\gamma)[/mm] + [mm]v_2 (\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma)[/mm] + [mm]v_3 (\beta[/mm]
> + [mm]\gamma)[/mm] bringen.
Hallo,
wenn du jetzt noch das erforderliche =0 spendierst, hast du eine Linearkombination dreier unabhängiger Vektoren, welche die Null ergibt.
Was bedeutet das dann für die Koeffizienten?
Hieraus erhältst Du dann ein LGS mit den Variabelen [mm] \alpha, \beta, \gamma, [/mm] welches nun zu lösen ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Dass die einzelnen Koeffizienten 0 ergeben, bedeutet das doch, wenn es linear unabhängig ist.
Meinst du, dass man ein Gleichungssystem machen soll, das so aussieht?
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 0
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 0
[mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 0
Ich denke mal, das ist Quatsch, aber wenn ich die gesamte Gleichung 0 setze, wie komme ich da auf ein Ergebnis?
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Hallo Hummel89,
> Dass die einzelnen Koeffizienten 0 ergeben, bedeutet das
> doch, wenn es linear unabhängig ist.
> Meinst du, dass man ein Gleichungssystem machen soll, das
> so aussieht?
>
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\gamma[/mm] = 0
>
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma[/mm] = 0
>
> [mm]\beta[/mm] + [mm]\gamma[/mm] = 0
>
> Ich denke mal, das ist Quatsch, aber wenn ich die gesamte
> Gleichung 0 setze, wie komme ich da auf ein Ergebnis?
Löse das obenstehende Gleichungssystem auf.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Dann erhält man für die drei Koeffizienten jeweils 0.
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Hallo Hummel89,
> Dann erhält man für die drei Koeffizienten jeweils 0.
Und was schließen wir daraus?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Die Aussage stimmt, also war das schon alles?
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> Die Aussage stimmt, also war das schon alles?
Hallo,
ja, wir wissen jetzt, daß die einzige Linearkombination, die die Null ergibt, die triviale ist.
Also sind die Vektoren linear unabhängig.
Wenn man weiß, wie's gehet, ist's echt einfach.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 20.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Ja, das ist wirklich recht einfach. Vielen dank für die tolle Hilfe. Ich hatte nun nur noch eine Frage. Man sollte noch folgende Aussage widerlegen oder beweisen:
[mm] (v_1, v_2) [/mm] ist linear unabhängig genau dann, wenn [mm] (v_1 [/mm] + [mm] v_2, v_1 [/mm] - [mm] v_2) [/mm] linear unabhängig ist.
Ich hatte es dann erstmal wieder in folgende Form gebracht:
[mm] \alpha (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] + [mm] \beta (v_1 [/mm] - [mm] v_2) [/mm] = 0
Danach bin ich auf folgendes Gleichungssystem gekommen:
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = 0
[mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] = 0
Stelle ich II nun nach [mm] \alpha [/mm] um, so erhalte ich
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta
[/mm]
In I erhalte ich jedoch
[mm] \alpha [/mm] = - [mm] \beta
[/mm]
Also zwei verschiedene Werte. Setze ich diese jeweils ein, so erhalte ich auch wieder 0. Sind sie nun linear unabhängig, weil 0 herauskommt oder funktioniert das mit den beiden verschiedenen Werten nicht?
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> Ja, das ist wirklich recht einfach. Vielen dank für die
> tolle Hilfe. Ich hatte nun nur noch eine Frage. Man sollte
> noch folgende Aussage widerlegen oder beweisen:
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> [mm](v_1, v_2)[/mm] ist linear unabhängig genau dann, wenn [mm](v_1[/mm] +
> [mm]v_2, v_1[/mm] - [mm]v_2)[/mm] linear unabhängig ist.
>
> Ich hatte es dann erstmal wieder in folgende Form
> gebracht:
> [mm]\alpha (v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] + [mm]\beta (v_1[/mm] - [mm]v_2)[/mm] = 0
>
> Danach bin ich auf folgendes Gleichungssystem gekommen:
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] = 0
> [mm]\alpha[/mm] - [mm]\beta[/mm] = 0
Das ist richtig. Und dieses LGS hat die eindeutige Lösung (0,0), also sind [mm] (v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}), (v_{1}-v_{2}) [/mm] linear unabhängig. Fertig.
Indem man Zeile 1 auf Zeile 2 addiert, sieht man auch dass
[mm] 2\alpha [/mm] = 0 [mm] \gdw \alpha [/mm] = 0
rauskommt, woraus dann auch sofort [mm] \beta [/mm] = 0 folgt.
Du hast jetzt gezeigt dass aus
[mm] v_{1}, v_{2} [/mm] l.u. [mm] \Rightarrow (v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}), (v_{1}-v_{2}) [/mm] l.u.
"Genau dann wenn" heißt aber strenggenommen, dass du auch
[mm] v_{1}, v_{2} [/mm] l.u. [mm] \Leftarrow (v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}), (v_{1}-v_{2}) [/mm] l.u.
zeigen musst. Probiers mal 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 20.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Setzt man dazu einfach die Linearkombination von [mm] (v_1,v_2) [/mm] gleich 0? Das wäre wohl zu einfach, denke ich mal.
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> Setzt man dazu einfach die Linearkombination von [mm](v_1,v_2)[/mm]
> gleich 0? Das wäre wohl zu einfach, denke ich mal.
Hallo!
Ja, das ist es auch
Du hast die Lineare Unabhängigkeit von [mm] (v_{1}+v_{2}), (v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}) [/mm] gegeben. Du beginnst mit
[mm] \alpha*v_{1} [/mm] + [mm] \beta*v_{2} [/mm] = o
Dein Ziel ist wieder irgendwas mit
[mm] \lambda*(v_{1}+v_{2}) [/mm] + [mm] \mu*(v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}) [/mm] = o
hinzubekommen, damit du die Voraussetzung verwenden kannst. Was musst du also tun? Verwende
[mm] v_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*((v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}) [/mm] + [mm] (v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}))
[/mm]
und
[mm] v_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*((v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}) [/mm] - [mm] (v_{1} [/mm] - [mm] v_{2}))
[/mm]
d.h. ersetze [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] mit den obigen rechten Termen in der Gleichung
[mm] \alpha*v_{1} [/mm] + [mm] \beta*v_{2} [/mm] = o
Dann gehts
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Habe alles eingesetzt und bin am Ende darauf gekommen, dass die Richtung auch hinhaut. Ich hoffe, dass das stimmt und bedanke mich vielmals für die geduldige Hilfe. Falls es nicht stimmt, dann poste ich nochmal alles.
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Natürlich haut es hin, und zwar aus drei Gründen:
1. Du sollst zeigen, dass es stimmt (Aufgabenstellung!)
2. Du hast es berechnet.
3. Es ensteht genau dasselbe LGS wie vorher
Stefan.
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