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| Aufgabe | Sei [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] linear abhängig im Vektorraum V über dem Körper K. Richtig oder Falsch:
a) Jedes [mm] a\in [/mm] ist auf wenigstens zwei verschiedene Weisen aus [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] linear kombinierbar.
b) Jedes [mm] a_{p} [/mm] ist linear kombinierbar aus den [mm] a_{j} [/mm] mit [mm] j\in{1,...,n} [/mm] \
{p}. |
Ich bin mir 100% sicher das das erste falsch ist....müsste daher nicht auch das zweite falsch sein?
aber in unserem Skript meine ich gefunden zu haben, dass das zweite richtig ist. Also meine Frage kann das erste falsch sein und das zweite trotzdem richtig sein?
LG und frohe Feiertage
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:30 Do 24.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Schmetterfee,
Du hast Recht: beides ist falsch.
Allerdings ist die Voraussetzung ja nicht sehr genau angegeben. Du gehst, wie ich auch, offenbar davon aus, dass das heißt, dass der Satz von Vektoren nicht linear unabhängig ist. Dann genügt es ja, wenn z.B. [mm] \vec{a}_5=2\vec{a}_4 [/mm] ist, ansonsten aber jeder dieser beiden Vektoren mit den übrigen [mm] a_i [/mm] zusammen einen linear unabhängigen Satz bildet.
Nur wenn die Aussage b) mit zur Voraussetzung gehören würde, wäre a) richtig, und b) trivial.
fw,
reverend
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Danke für die schnelle Antwort...jetzt sind meine Bedenken bereinigt...
Frohe Weiihnachten Schmetterfee
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:34 Mi 06.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
falls sich da jetzt noch jemand dafür interessieren sollte:
a) ist sehr wohl richtig!
Beweis:
Da [mm]a_1,\ldots,a_n[/mm] linear abhängig sind, existieren [mm]\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in K[/mm] nicht alle 0 (etwa [mm]\lambda_k\not= 0[/mm]) mit [mm]\summe_{i=1}^n\lambda_ia_i=0[/mm]. Wegen [mm]a\in[/mm] existieren [mm]\mu_1,\ldots,\mu_n\in K[/mm] mit [mm]a=\summe_{i=1}^n\mu_ia_i[/mm]. Dann gilt [mm]a=\summe_{i=1}^n\mu_ia_i+0=\summe_{i=1}^n\mu_ia_i+\summe_{i=1}^n\lambda_ia_i=\summe_{i=1}^n(\mu_i+\lambda_i)a_i[/mm]. Wegen [mm]\lambda_k\not=0[/mm] gilt [mm]\mu_k+\lambda_k\not=\mu_k[/mm], so dass [mm]a=\summe_{i=1}^n\mu_ia_i[/mm] und [mm]a=\summe_{i=1}^n(\mu_i+\lambda_i)a_i[/mm] zwei verschiedene Darstellungen von [mm]a[/mm] als Linearkombination der [mm]a_1,\ldots,a_n[/mm] sind.
Viele Grüße
Tobias
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