Lineare Abb. - inv. Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe kurz eine Frage zu linearen Abbildungen und (invertierbaren) Matrizen.
Also ich weiß, dass ich jeder linearen Abbildung eine Matrix zuordnen kann (und umgekehrt).
Bei Wikipedia hab ich gelesen, dass wenn die Matrix, die die lineare Abbildung beschriebt, invertierbar ist, dass dann die zugehörige lineare Abbildung bijektiv ist.
Wenn ich nun eine bijektive lineare Abbildung habe, und dazu eine Matrix, ist dann die dazu inverse Matrix vielleicht genau die Matrix der Umkehrabbildung?
Oder haben die linearen Abbildungen zu zueinander inversen Matrizen nichts miteinander zu tun?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Mo 02.11.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
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> Wenn ich nun eine bijektive lineare Abbildung habe, und
> dazu eine Matrix, ist dann die dazu inverse Matrix
> vielleicht genau die Matrix der Umkehrabbildung?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau das ist sie.
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> Oder haben die linearen Abbildungen zu zueinander inversen
> Matrizen nichts miteinander zu tun?
>
Hier schließt ish dann auch der Kreis zu Deiner Frage zur allgemeinen linearen Gruppe. Bei meiner Antwort gestern habe ich noch etwas um den heißen Brei herumgeredet, weil ich noch nciht wusste, wie weit ihr den Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen bereits behandelt habt.
Im Prinzip gibt es bei (endlichdimensionalen) Vektorräumen eine genaue entsprechung zwischen den linearen Abbildungen und den Matrizen.
lin. Abbildung [mm] \hat= [/mm] Matrix
Verknüpfung von lin. Abb. [mm] \hat= [/mm] Multiplikation von Matrizen
inv. Abbildung [mm] \hat= [/mm] inverse Matrix
identische Abbildung [mm] \hat= [/mm] Einheitsmatrix
und so weiter.
Und damit gibt es dann auch eine viel bessere Antwort auf die Fage, warum man bei GL(V) die Komposition als Verknüpfung nimmt: weil man in Matrizen-Schreibweise damit gerade bei der Matrizen-Multiplikation landet.
Gruß
piet
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