Lineare Abb. von Polynomen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Fr 23.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
| Aufgabe | Betrachte die Abbildung
[mm]
\bruch{d}{dx} : \IR[x] \to \IR[x], f \mapsto f'[/mm]
Hier bezeichnet [mm]f'[/mm] Die Ableitung der durch das Polynom [mm] f [/mm] gegebenen Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
a)Zeigen Sie das [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] linear ist.
Bezeichne mit [mm] \IR[x]_{d} [/mm] den UVR von [mm] \IR[x] [/mm] der Polynome von Grad grad kleiner gleich d.
b) Zeigen Sie, dass [mm]\bruch{d}{dx}(\IR[x]_{d}) \subset \IR[x]_{d}[/mm]
Wir erhalten so lineare Abbildungen endlich-dimensionaler Vektorräume
[mm] D_{d}:\IR[x]_{d} \to \IR[x]_{d}, f \mapsto \bruch{d}{dx}(f)[/mm]
c) Wählen Sie eine Basis von [mm] \IR[x]_{3} [/mm] und berechnen sie die Matrix von [mm]D_{3}: \IR[x]_{3} \to \IR[x]_{3} [/mm] bezüglich der gewählten Basis. |
zu a)
Ich weiss das ich den Polynomring als Linearkombination darstellen kann
[mm]\summe_{i=0}^{n}\lambda_{i} x^{i} [/mm]
und die Ableitung als
[mm]\bruch{d}{dx}(\summe_{i=0}^{n}\lambda_{i} x^{i}) = \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i-1} ix^{i-1} [/mm]
Um zu beweisen das [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] linear ist, muss ich ja zeigen:
[mm]\forall v_{1}, v_{2} \in \IR[x] , \lambda \in \IR : \bruch{d}{dx}(v_{1}+\lambdav_{2}) = \bruch{d}{dx}(v_{1}) + \lambda \bruch{d}{dx}(v_{2})[/mm]
Für Beispielweise [mm]x^{2}+4x[/mm] wäre das ja
[mm]
\bruch{d}{dx}(x^{2}+4x) = \bruch{d}{dx}(x^{2}) 4\bruch{d}{dx}(x)
\gdw (2x+4) = (2x)+4(1)
[/mm]
Weiss nur nich wie ich das jetzt allgemein machen soll.
|
|
| |
|
Hallo LoBi,
nimm dir 2 allg. Polynome [mm] $p(x),q(x)\in\IR[x]$ [/mm] her
[mm] $p(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k\, [/mm] , [mm] q(x)=\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k$ [/mm] mit obdA [mm] $n\ge [/mm] m$
Dann ist [mm] $(p+q)(x)=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k$\, [/mm] , wobei dann [mm] $b_{m+1},....,b_n=0$ [/mm] sind
Dann bilde mal $(p+q)'(x)$ durch gleidweises Differenzieren und bringe es in die gewünschte Form $...=p'(x)+q'(x)$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Fr 23.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Also:
[mm] (p+q)(x)=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k
[/mm]
[mm] =(a_{0}+b_{0})x^{0}+(a_{1}+b_{1})x^{1}+...+(a_{k}+b_{k})x^{k}
[/mm]
[mm] (p+q)'(x)=(a_{-1}+b_{-1})0x^{-1}+(a_{0}+b_{0})x^{0}+...+(a_{k-1}+b_{k-1})kx^{k-1}
[/mm]
das erste Glied fällt weg und durch ausmultiplizieren und umformen erhalte ich dann
[mm] (p+q)'(x)=(a_{0}x^{0}+b_{0}x^{0})+...+(a_{k-1}kx^{k-1}+b_{k-1}kx^{k-1})
[/mm]
[mm] =(a_{0}x^{0}+...+a_{k-1}kx^{-1}) [/mm] + [mm] (b_{0}x^{0}+...+b_{k-1}kx^{-1})
[/mm]
=p'(x)+q'x(x)
Allerdings verstehe ich nicht warum du oBdA [mm] n\ge [/mm] m annimmst, und du die Koeffizienten [mm] b_{m+1},....,b_n=0 [/mm] setzt.
|
|
|
| |
|
> Also:
> [mm](p+q)(x)=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k[/mm]
>
> [mm]=(a_{0}+b_{0})x^{0}+(a_{1}+b_{1})x^{1}+...+(a_{k}+b_{k})x^{k}[/mm]
>
> [mm](p+q)'(x)=(a_{-1}+b_{-1})0x^{-1}+(a_{0}+b_{0})x^{0}+...+(a_{k-1}+b_{k-1})kx^{k-1}[/mm]
>
> das erste Glied fällt weg
Hallo,
es stellt sich natürlich sofort die Frage, warum es überhaupt da ist. Das ist doch Blödsinn, denn die Koeffizienten [mm] a_{-1}, b_{-1} [/mm] gibt's ja bisher gar nicht. Laß das also gleich weg.
und durch ausmultiplizieren und
> umformen erhalte ich dann
>
> [mm](p+q)'(x)=(a_{0}x^{0}+b_{0}x^{0})+...+(a_{k-1}kx^{k-1}+b_{k-1}kx^{k-1})[/mm]
> [mm]=(a_{0}x^{0}+...+a_{k-1}kx^{-1})[/mm] +
> [mm](b_{0}x^{0}+...+b_{k-1}kx^{-1})[/mm]
> =p'(x)+q'x(x)
>
>
> Allerdings verstehe ich nicht warum du oBdA [mm]n\ge[/mm] m
> annimmst,
schachuzipus nimmt sich die Freiheit, den höchsten der beiden Grade mit n zu bezeichnen.
> und du die Koeffizienten [mm]b_{m+1},....,b_n=0[/mm]
> setzt.
Es ist ja [mm] q(x)=\summe_{k=1}^{m}b_kx^k.
[/mm]
In der Summe der beiden Polynome $ [mm] (p+q)(x)=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k [/mm] $ kommen aber auch die Koeffizienten [mm] b_{m+1},....,b_n [/mm] vor, und die müssen ja irgendwo erklärt sein. Wenn sie =0 sind, dann ist [mm] q(x)=\summe_{k=1}^{m}b_kx^k=q(x)=\summe_{k=1}^{n}b_kx^k, [/mm] und alles paßt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Fr 23.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Ok also das [mm] (p+q)'(x)=(a_{-1}+b_{-1})0x^{-1}+(a_{0}+b_{0})x^{0}+...+(a_{k-1}+b_{k-1})kx^{k-1}
[/mm]
ist ja sowieso falsch da die Ableitung ja nicht
[mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i-1} ix^{i-1} [/mm] sondern [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i} ix^{i-1} [/mm] ist, müsste also heissen
(1) [mm] (p+q)'(x)=(a_{0}+b_{0})0x^{-1}+(a_{1}+b_{1})x^{0}+...+(a_{k}+b_{k})kx^{k-1} [/mm]
oder eher
(2)
[mm] (p+q)'(x)=(a_{1}+b_{1})x^{0}+...+(a_{k}+b_{k})kx^{k-1} [/mm]
noch meine letzte kleine Frage ist ob ich jetzt den index i=0 für (1) oder i=1
für (2) setzen muss, ich muss ja irgendwie zeigen was mit [mm] x^{0} [/mm] passiert.
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
da ist irgendwas durcheinander 
Ich schreib's nochmal auf:
also $(p+q)(x)=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k=(a_0+b_0)\cdot{}x^0+(a_1+b_1)\cdot{}x^1+(a_2+b_2)\cdot{}x^2+....+(a_m+b_m)\cdot{}x^m+(a_{m+1}+b_{m+1})\cdot{}x^{m+1}+....+(a_n+b_n})\cdot{}x^n$
$=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)\cdot{}x^1+(a_2+b_2)\cdot{}x^2+....+(a_m+b_m)\cdot{}x^m+(a_{m+1}+b_{m+1})\cdot{}x^{m+1}+....+(a_n+b_n})\cdot{}x^n$
Dann ist $(p+q)'(x)$
$=(a_1+b_1)\cdot{}x^0+2(a_2+b_2)\cdot{}x^1+....+m(a_m+b_m)\cdot{}x^{m-1}+(m+1)(a_{m+1}+b_{m+1})\cdot{}x^{m}+....+n(a_n+b_n})\cdot{}x^{n-1}$
$=\sum\limits_{k=1}^{n}k\cdot{}(a_k+b_k)x^{k-1}$
Und das "zerstückele" nun weiter, bis da $...=p'(x)+q'(x)$ steht
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 25.11.2007 | | Autor: | Molix |
Hi,
noch eine Frage dazu:
Muss nicht zum vollständigen Beweis auch noch so etwas wie [mm] p'(\lambda x)=\lambda [/mm] p'(x) gezeigt werden? Oder gilt das nur für Vektorräume und nicht für Polynome?
Gruß Molix
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> noch eine Frage dazu:
>
> Muss nicht zum vollständigen Beweis auch noch so etwas wie
> [mm]p'(\lambda x)=\lambda[/mm] p'(x) gezeigt werden?
Hallo,
ja, bisher hast Du nur den einen Teil der Linearität der Abbildung [mm] \bruch{d}{dx}:\IR[x]\to \IR[x] [/mm] gezeigt.
Es fehlt noch, daß [mm] {d}{dx}(\lambda [/mm] f)= [mm] \lambda{d}{dx}(f) [/mm] ist.
> Oder gilt das
> nur für Vektorräume und nicht für Polynome?
???
Das gilt für lineare Abbildungen, welche Funktionen mit bestimmten Eigenschaften zwischen zwei Vektorräumen sind.
Welches ist hier Dein Vektorraum? Der Vektorraum der reellen Polynome.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 So 25.11.2007 | | Autor: | LoBi83 |
Zum 2. Teil von der a) hab ich folgendes gemacht:
Annahme :
[mm] \forall p(x), \lambda \in \IR: \lambda \bruch{d}{dx}(p(x)) = \bruch{d}{dx}(\lambda p(x)) [/mm]
Sei [mm]p(x) \in \IR[x], \lambda \in \IR
\lambda \bruch{d}{dx}(p(x))
=\lambda \bruch{d}{dx}( \summe_{i=0}^{n}a_{i} x^{i} )
=\lambda ( \summe_{i=1}^{n}ia_{i} x^{i-1} )
=( \summe_{i=1}^{n}\lambda ia_{i} x^{i-1} )
=\bruch{d}{dx}(\lambda p(x))
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 25.11.2007 | | Autor: | Chuck86 |
Hi,
also, ich habe ne Frage zu d/dx R[x] [mm] \subset [/mm] R[x]
Kann ich sagen dass ich ne Basis von R[x] habe mit B = [mm] {1,x,x^2,...,x^d}
[/mm]
und ne Basis von d/dx B' = {1,x, [mm] x^{2}, [/mm] ... , [mm] x^{d-1}}
[/mm]
und dann sagen
e [mm] \in [/mm] d/dx R[x]
[mm] e=\summe_{i=1}^{d-1} (ai*x^{i})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] e + 0 * [mm] x^{d} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{d-1} (ai*x^{i} [/mm] + 0 * [mm] x^{d})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] e = [mm] \summe_{i=1}^{d} (ai*x^{i})
[/mm]
?
und daraus dann schließen dass d/dx R[x] [mm] \subset [/mm] R[x] ist?
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hi,
> also, ich habe ne Frage zu d/dx R[x] [mm]\subset[/mm] R[x]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht kannst Du mal in Worten sagen, was Du zeigen möchtest, ich kann mir auf das, was Du schreibst, nämlich nicht recht einen Reim machen.
Was meinst Du mit
> d/dx R[x] [mm]\subset[/mm] R[x] ?
Das Bild v. [mm] \IR[x] [/mm] unter der Abb. d/dx?
> Kann ich sagen dass ich ne Basis von R[x] habe mit B =
> [mm]{1,x,x^2,...,x^d}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das wäre eine Basis des Vektorraumes der reellen Polynome vom Höchstgrad d.
Die Basis v. \IR[x] ist nicht endlich.
> und ne Basis von d/dx B' = {1,x, [mm]x^{2},[/mm] ... , [mm]x^{d-1}}[/mm]
???
Eine Abbildung hat doch keine Basis! Ein vektorraum hat eine Basis.
>
> und dann sagen
Wie gesagt weiß ich nicht recht, worauf Du hinaus willst.
Geht es Dir darum, daß [mm] \bruch{d}{dx}(p) [/mm] wieder ein Polynom ist?
Das steht hier eigentlich nicht zur Debatte, das wissen wir wir aus der Analysis.
Ich denke nicht, daß man hier den Ableitungsbegriff aufrollen soll.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 25.11.2007 | | Autor: | Chuck86 |
Also, [mm] R[x]_{d} [/mm] ist ein Untervektorraum von R[x]
und wenn ich dann sage dass ich ne Basis von [mm] R[x]_{d} [/mm] habe mit B = {1,x, ... , [mm] x^{d}}
[/mm]
und ne Basis von d/dx [mm] R[x]_{d} [/mm] B' = {1,x, ... , [mm] x^{d-1}}
[/mm]
Also ich will zeigen dass wenn ich mir ein Elemt aus d/dx [mm] R[x]_{d} [/mm] hole, kann ich das dann ja als Linearkombination von B# darstellen und wenn ich dann auf beiden Seite 0 * [mm] x^{d} [/mm] addiere habe ich ja links wieder das Element stehen und rechts ne Linearkombination von e aus B. Kann ich damit dann zeigen dass d/dx [mm] R[x]_{d} \subset R[x]_{d} [/mm] ist?
oder habe ich einfach die aufgabenstellung falsch gelesen und bin in eine ganz falsche Richtung unterwegs?
|
|
|
| |
|
> Also, [mm]R[x]_{d}[/mm] ist ein Untervektorraum von R[x]
>
> und wenn ich dann sage dass ich ne Basis von [mm]R[x]_{d}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
habe
> mit B = {1,x, ... , [mm]x^{d}}[/mm]
> und ne Basis von d/dx [mm]R[x]_{d}[/mm]
Hallo,
was meinst Du mit
d/dx [mm] R[x]_{d} [/mm] ?
Das Bild der Abbildung?
Es steht nicht zur Debatte, daß dieses auch ein Polynom ist.
Das kann lt. Aufgabenstellung vorausgesetzt werden.
Zu zeigen ist die Linearität der Abbildung [mm] \bruch{d}{dx}.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 25.11.2007 | | Autor: | Chuck86 |
Ja schon klar. Aber bei der ersten Teilaufgabe.
Bei der Zweiten ist doch zu zeigen dass [mm] \bruch{d}{dx}(\IR[x]_{d}) \subset \IR[x]_{d} [/mm] ist. Oder nicht?
Gruß
|
|
|
| |
|
> Ja schon klar. Aber bei der ersten Teilaufgabe.
> Bei der Zweiten ist doch zu zeigen dass
> [mm]\bruch{d}{dx}(\IR[x]_{d}) \subset \IR[x]_{d}[/mm] ist. Oder
> nicht?
Doch, natürlich.
Es war mir nicht klar, daß es weitere Teilaufgaben gibt und daß es um b) geht.
Das kannst Du einfach so machen:
Sei [mm] p\in \IR[x]_{d}.
[/mm]
Dann kann man p schreiben als p= [mm] a_dx^d+...+a_1x+a_0x^0 [/mm] mit [mm] a_i \in \IR
[/mm]
Es ist [mm] \bruch{d}{dx}p= [/mm] ... [mm] \in \IR[x]_{d}.
[/mm]
Mehr würde ich da nicht machen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Also p(x) = [mm] \summe_{k=1}^{d}a_{k}x^{k} [/mm] = [mm] a_{d}x^{d}+...+a_{1}x+a_{0}
[/mm]
und
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] p = [mm] da_{d-1}x^{d-1}+...+a_{1} [/mm] und das ist ja eine Teilmenge des Polynomrings [mm] IR[x]_{d}...Wenn [/mm] man sich den Schnitt dieser beiden Polynomringe anschaut dann sieht man ja das jedes Element der Ableitungen auch ein Element des Polynomrings selbst ist...
Genügt das oder ist das noch zu unausführlich??
Zur c) hab ich dann auch noch ne frage:
Als Basis habe ich mir gewählt: B=(1,1+x,1+x+x²,1+x+x²+x³) Es solen ja die Polynome vom Grad kleiner gleich 3 sein.
Dann betrachte ich:
[mm] D_{3}(1) [/mm] = 0
[mm] D_{3}(1+x) [/mm] = 1
[mm] D_{3}(1+x+x²) [/mm] = 1+2x
[mm] D_{3}(1+x+x²+x³) [/mm] = 1+2x+3x²
Jetzt muss ich ja die Null mithilfe meiner Basisvektoren darstellen, genau wie die 1, 1+2x und 1+2x+3x²? richtig?
Dann erhalte ich als Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ist das so richtig?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich seh keinen Fehler, frag mich allerdings, warum du dirs so schwer machst und
nicht die Basis [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] nimmst?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo Leduart!
Stimmt eigentlich hast recht :) Keine ahnung warum ich die genommen habe, wahrscheinlich weil ich sie in der aufzeichnung unserer vorlesung stehen hatte...die b mit der teilmenge ist auch so in ordnung?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst das als Vektorraum betrachten, und zeigen, dass es ein UVR ist, soweit ich die Frage verstanden habe. also ein bis 2 Sätze mehr dazu wären schön.
Du redest von dem Halbring.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Kurze Frage, ich komme bei der Matrix auf eine andere.
Ich habe als Basis gewählt B={1,x,x²,x³}
Leite ich die ab habe ich ja
D(1)=0
D(x)=1
D(x²)=2x
D(x³)=3x²
Die muss ich ja nun als Linearkombination darstellen können und somit komme ich dann auf meine Matrix.
Ich habe dann als Matrix aber
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ }
[/mm]
Ist das denn richtig? Bzw habe ich was falsch gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Di 27.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Das was du gemacht hast ist vollkommen richtig...ich habe ja auch eine andere basis gewählt deshalb bekomme ich ja ne andere matrix raus....Wie sagt Kebekus immer "Alles hängt von der Wahl der Basis ab" ;)
Gruß
|
|
|
| |
|
Hey Tyskie,
ich komm irgendwie nicht drauf... kannst du deine schritte kurz niederlegen? Was hast du nach dem ableiten genau gemacht?
|
|
|
| |
|
Hi!
[mm] D_{3}(1) [/mm] = 0 [mm] 0*v_{1}+0*v_{2} [/mm] + [mm] 0*v_{3} +0*v_{4}
[/mm]
[mm] D_{3}(1+x) [/mm] = 1 [mm] 1*v_{1} +0*v_{2} [/mm] + [mm] 0*v_{3} [/mm] + [mm] 0*v_{4} [/mm]
[mm] D_{3}(1+x+x²) [/mm] = 1+2x [mm] (-1)*v_{1} [/mm] usw
[mm] D_{3}(1+x+x²+x³) [/mm] = 1+2x+3x² hier auch das selbe.....
Du musst deine Ableitung mithilfe deiner gewählten Basisvektoren ausdrücken...und dann bekommst du deine matrix
Hast du was zur c) gemacht? Besonders die 2 teilaufgabe davon
Gruß
|
|
|
|
