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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Sa 21.01.2006 | | Autor: | toppy |
| Aufgabe | (a) Sei $V$ die Menge aller Folgen über [mm] $\IQ$, [/mm] die in [mm] $\IR$ [/mm] einen Grenzwert besitzen, $W$ die Mengen aller Nullfolgen über [mm] $\IQ$, [/mm] $T:= [mm] \{f | f\in \IQ^\IN, 1f=0 \}$.
[/mm]
Man zeige, dass $V$, $W$, $T$ [mm] $\IQ$ [/mm] -Teilräume des [mm] $\IQ$ [/mm] -Vektrorraums [mm] $\IQ^\IN$ [/mm] sind und beantworte die folgenden Fragen:
(b) Ist die Abbildung [mm] $\lambda: [/mm] V [mm] \to \IR$, [/mm] $f [mm] \mapsto \lim [/mm] f$ ein additiver Homomorphismus? Ein multiplikativer Homomorphismus?
(c) Gibt es einen endlich-dimensionalen [mm] $\IQ$-Teilraum [/mm] $U$ und $V$ mit der Eigenschaft $V= U [mm] \oplus [/mm] W$?
(d) Gilt $T [mm] \cong \IQ^\IN$? [/mm] |
Hallo,
ich bin neuer hier und ich erhoffe ein paar brauchbare Tipps, da das Mathestudium doch anstrengender ist, als ich ursprünglich gedacht habe.
Meine Ansätze:
(a)
Da ich zeigen soll, dass es sich bei V, W und T um Teilräume handeln soll, muss ich zunächst zeigen, dass V, W und T nicht leer sind. Dieses Mache ich mit konkreten Beispielen.
(b)
Für den additiven bzw. multiplikativ Homomorphismus muss ich ja zeigen:
[mm] \forall x,x'\in \V [/mm] : (x + x')f = (xf) + (x'f)
bzw.
[mm] \forall x,x'\in \V [/mm] : (x * x')f = (xf) * (x'f).
Doch wie mache ich das? Das ist mir noch nicht ganz klar.
(c) & (d)
Ich habe leider keine Idee, wie ich diese Aufgabenteile lösen kann.
Bitte helft mir! Dankeschön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo toppy,
> (a) Sei [mm]V[/mm] die Menge aller Folgen über [mm]\IQ[/mm], die in [mm]\IR[/mm] einen
> Grenzwert besitzen, [mm]W[/mm] die Mengen aller Nullfolgen über [mm]\IQ[/mm],
> [mm]T:= \{f | f\in \IQ^\IN, 1f=0 \}[/mm].
was ist denn gemeint mit dem Teilraum $T$?
> Man zeige, dass [mm]V[/mm], [mm]W[/mm], [mm]T[/mm]
> [mm]\IQ[/mm] -Teilräume des [mm]\IQ[/mm] -Vektrorraums [mm]\IQ^\IN[/mm] sind und
> beantworte die folgenden Fragen:
>
> (b) Ist die Abbildung [mm]\lambda: V \to \IR[/mm], [mm]f \mapsto \lim f[/mm]
> ein additiver Homomorphismus? Ein multiplikativer
> Homomorphismus?
>
> (c) Gibt es einen endlich-dimensionalen [mm]\IQ[/mm]-Teilraum [mm]U[/mm] und
> [mm]V[/mm] mit der Eigenschaft [mm]V= U \oplus W[/mm]?
>
> (d) Gilt [mm]T \cong \IQ^\IN[/mm]?
> Hallo,
>
> ich bin neuer hier
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ...
> und ich erhoffe ein paar brauchbare
> Tipps, da das Mathestudium doch anstrengender ist, als ich
> ursprünglich gedacht habe.
...und immer schön dranbleiben (am Stoff)! 
>
>
> Meine Ansätze:
>
> (a)
> Da ich zeigen soll, dass es sich bei V, W und T um
> Teilräume handeln soll, muss ich zunächst zeigen, dass V, W
> und T nicht leer sind. Dieses Mache ich mit konkreten
> Beispielen.
Ja, Vor allem aber mußt du zeigen, dass die Addition und die skalare Multiplikation abgeschlossen ist. Also:
[mm] $\forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] V: f + g [mm] \in [/mm] V$ und
[mm] $\forall [/mm] a [mm] \in \IQ, \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] V: af [mm] \in [/mm] V$
Dasselbe für $W$ und $T$.
> (b)
> Für den additiven bzw. multiplikativ Homomorphismus muss
> ich ja zeigen:
> [mm]\forall x,x'\in \V[/mm] : (x + x')f = (xf) + (x'f)
> bzw.
> [mm]\forall x,x'\in \V[/mm] : (x * x')f = (xf) * (x'f).
> Doch wie mache ich das? Das ist mir noch nicht ganz klar.
Wie kommst du auf diese Bedingung? Wo ist dein [mm] \lambda?
[/mm]
Du hast eine Abbildung [mm] \lambda [/mm] gegeben und mußt zeigen, ob diese Abb. ein additiver bzw. multiplikativer Homomorphismus ist, d.h.
[mm] $\forall [/mm] f,g [mm] \in [/mm] V: [mm] \lambda(\underbrace{f + g}_{\mbox{Add. in }\IQ^{\IN}})= \underbrace{\lambda(f) + \lambda(g)}_{\mbox{Add. in } \IR}$,
[/mm]
für die Multiplikation entsprechend.
Versuch' erstmal diese beiden Teile.
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:46 So 22.01.2006 | | Autor: | toppy |
Kann mir vielleicht noch jemand helfen, ich komme einfach nicht weiter. Also vielleicht ein paar Tipps für (c) und (d).
Dankeschön.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 So 22.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zu b): Das sind die Grenzwertsätze für rationale Folgen.
Zu c): Tipp: $f = f - [mm] (\lim [/mm] f) [mm] \cdot [/mm] I + [mm] (\lim [/mm] f) [mm] \cdot [/mm] I$,
wobei $I$ die konstante Einsfolge ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 07:02 Mo 23.01.2006 | | Autor: | toppy |
Hallo,
also die Aufgabenteile (a) und (b) habe ich fertig. Jetzt hänge ich bei dem Aufgabenteil (c). Ich verstehe deinen Ansatz leider nicht. Kannst du diesen vielleicht noch mal umformulieren und etwas näher erläutern???
Für einen Tipp für den Aufgabenteil (d) wäre ich sehr dankbar!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:02 Di 24.01.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo toppy!
Leider konnte dir keiner, innerhalb der von dir vorgegebenen Zeit antworten. Nun muss ich deine Frage für Interessierte markieren.
Bestimmt hast du nächstes Mal mehr Glück. ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Liebe Grüße
PStefan
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