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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Mi 25.08.2004 | | Autor: | helius |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo zusammen,
habe folgendes Problem. Kann mir einer erklären, wie man auf Abbildungsmatrizen ganz allgemein kommt. Die Aufgabe die ich lösen soll lautet:
Bei einer Parallelprojektion M: [mm] \IR³ \to \IR² [/mm] wird das Achsenkreuz [mm] \vec{e1}, \vec{e2}, \vec{e3} [/mm] auf die Punkte [mm] -\bruch{1}{2} \vektor{1 \\ 1}, \bruch{1}{2} \vektor{1 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] abgebildet.
a) Zeichnen Sie das Achsenkreuz und geben Sie die Abbildungsmatrix M an.
Wäre cool wenn mir einer dabei helfen könnte, Danke im vorraus
und mfg helius.
P.S.: der Umgang mit Abbildungsmatrizen und der damit verbundenen Abbildung ist mir geläufig, wenn eine Abbildungsmatrix gegeben ist  . Ist die Abbildungsmatrix zu suchen, stehe ich total im Dunkeln...
Mein eigener Lösungsansatz:
habe ich z.B. [mm] \vec{e1}= \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e2}= \vektor{0 \\ 1} [/mm] die auf die Punkte [mm] \vec{e`1}= \vektor{-1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e`2}= \vektor{0 \\ -1} [/mm] abgebildet werden sollen, dann könnte ich doch aus [mm] \vektor{-1 \\ 0}= \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{1 \\ 0} [/mm] a und b und aus [mm] \vektor{0 \\ -1}= \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{0 \\ 1} [/mm] c und d berechnen: M= [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }, [/mm] geht das auch bei der Aufgabe oben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mi 25.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo helius
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> Bei einer Parallelprojektion M: [mm]\IR³ \to \IR²[/mm] wird das
> Achsenkreuz [mm]\vec{e1}, \vec{e2}, \vec{e3}[/mm] auf die Punkte
> [mm]-\bruch{1}{2} \vektor{1 \\ 1}, \bruch{1}{2} \vektor{1 \\ -1}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] abgebildet.
>
> a) Zeichnen Sie das Achsenkreuz und geben Sie die
> Abbildungsmatrix M an.
>
> Wäre cool wenn mir einer dabei helfen könnte, Danke im
> vorraus
>
>
> P.S.: der Umgang mit Abbildungsmatrizen und der damit
> verbundenen Abbildung ist mir geläufig, wenn eine
> Abbildungsmatrix gegeben ist . Ist die Abbildungsmatrix
> zu suchen, stehe ich total im Dunkeln...
>
> Mein eigener Lösungsansatz:
>
> habe ich z.B. [mm]\vec{e1}= \vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vec{e2}= \vektor{0 \\ 1}[/mm]
> die auf die Punkte [mm]\vec{e'1}= \vektor{-1 \\ 0}[/mm] und
> [mm]\vec{e'2}= \vektor{0 \\ -1}[/mm] abgebildet werden sollen, dann
> könnte ich doch aus [mm]\vektor{-1 \\ 0}= \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> a und b und aus [mm]\vektor{0 \\ -1}= \pmat{ a & b \\ c & d }* \vektor{0 \\ 1}[/mm]
> c und d berechnen: M= [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 },[/mm] geht das
> auch bei der Aufgabe oben?
>
>
Ich denke, man sollte sich ganz einfach den Merksatz merken: die Koordinaten der Bilder der Basis stehen in den Kolonnen der Abbildungsmatrix.
Das heisst also: wenn du vom ersten Basisvektor die Koordinaten kennst, dann schreibst du einfach seine Koordinaten als erste Spalte der gesuchten Matrix.
Merke dir dabei: das Bild des ersten Basisvektors in die erste Spalte, ..., das Bild des n-ten Basisvektors in die n-te Spalte.
Für dein Beispiel mal der Anfang: das Bild von [mm] $\vec{e}_{1}$, [/mm] also des 1. Basisvektors, hat die Koordinaten [mm] $\begin{pmatrix}-\bruch{1}{2}\\-\bruch{1}{2}\end{pmatrix}$, [/mm] womit die Matrix so aussieht:
$M = [mm] \begin{pmatrix}{\bruch{1}{2}&.&.\\ \bruch{1}{2}&.&.}\end{pmatrix}$
[/mm]
Ich hoffe, dir gelingt es jetzt, die Punkte in meiner Matrix noch aufzufüllen?
Vielleicht zeigst du uns mal die vollständige Matrix mit dem Hinweis, dass das Ganze ja gar nicht so schwierig sei?  Wir bestätigen dann deine Lösung!
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 26.08.2004 | | Autor: | helius |
Hallo Paulus,
hab jetzt ein Ergebnis raus.
Die Abbildungsmatrix lautet:
M= [mm] \begin{pmatrix}
-\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & 0 \\
-\bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & 1
\end{pmatrix} [/mm]
Ein Kreis z.B. im [mm] \IR³ [/mm] mit z=0 ist im [mm] \IR² [/mm] wieder ein Kreis...
mfg
helius
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ich denke, das ist korrekt. 