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| Aufgabe | Sei f: V--> V eine lineare Abbildung(Homomorphismus )mit [mm] V=\IQ^{n.n}´
[/mm]
definiert durch [mm] f(A)=A^{T}
[/mm]
1) Zeigen Sie ,dass 1 und -1 Eigenwerte von f sind und bestimmen Sie alle zugehörigen Eigenvektoren.
2) Zeigen SIe , f ausser 1 und -1 keine weiteren Eigenwerte mehr besitzt. |
So ich hab keine ahnung wie ich die aufgabe lösen soll
In der Vorlesung hab ich gelernt [mm] P_{A}(\lambda)= Det(\lambda*I-A)=0 [/mm] => [mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert mit A u= v u
und finde keine Ansatz zu [mm] f(A)=A^{T}
[/mm]
ich hoffe könnt mir helfen danke voraus
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> Sei f: V--> V eine lineare Abbildung(Homomorphismus )mit
> [mm]V=\IQ^{n.n}´[/mm]
> definiert durch [mm]f(A)=A^{T}[/mm]
>
> 1) Zeigen Sie ,dass 1 und -1 Eigenwerte von f sind und
> bestimmen Sie alle zugehörigen Eigenvektoren.
>
> 2) Zeigen SIe , f ausser 1 und -1 keine weiteren
> Eigenwerte mehr besitzt.
> So ich hab keine ahnung wie ich die aufgabe lösen soll
>
>
>
> In der Vorlesung hab ich gelernt [mm]P_{A}(\lambda)= Det(\lambda*I-A)=0[/mm]
> => [mm]\lambda[/mm] ist Eigenwert mit A u= v u
>
>
> und finde keine Ansatz zu [mm]f(A)=A^{T}[/mm]
Hallo,
hier mußt Du gut aufpassen.
Das "A" Deiner Vorlesung in
> [mm] P_{A}(\lambda)= Det(\lambda*I-A)=0
[/mm]
ist doch etwas ganz anderes als das A in
> [mm] f(A)=A^{T}.
[/mm]
Gegeben hast Du eine lineare Abbildung f, welche vom Vektorraum der rationalen nxn-Matrizen in den Vektorraum der rationalen nxn-Matrizen geht.
Aufgepaßt: Deine Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind hier Matrizen.
Um das charakteristische Polynom und hieraus die Eigenwerte zu bestimmen, benötigst Du erstmal eine darstellende Matrix dieser Abbildung!
Und um wiederum diese darstellende Matrix zu finden, brauchst Du eine Basis von [mm] V=\IQ^{n.n}.
[/mm]
Der Fahrplan:
1. Basis B von V bestimmmen
2. Bild der Basis ermitteln
3. Bild der Basis in Koordinaten bzgl. B darstellen
4. Koordinatenvektoren aus 3. ind die Spalten der darstellenden Matrix stecken.
Wenn Du das hast, geht's mit dieser Matrix, nennen wir sie M, ans charakteristische Polynom.
Gruß v. Angela
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hmmm leuchtet mir irgendwie ein bisschen ein :)
betrachte : [mm] \IQx^{n.n} [/mm] es gilt [mm] n²=dim\IQ^{n.n} [/mm]
n² ist die Anzahl der Basen ,man muss mir doch ein n vorgeben damit ich dir darstellende Matrix berechnen kann
,dann würde ich die Basen [mm] v_{i} \in \IQ^{n.n} [/mm] mit i= 1......n² nehmen
[mm] v_{i}=[0,0....0,e(i),0,..0] [/mm] mit e(i) [mm] \in \IQ^{n} [/mm] e(i) also mit e(i) meinen ich:
die kanonische Zeilenmatrix wo der i-te zeileneintrag 1 ist und der rest null
ehmm ja und jetzt ?
so nebenbei ,gibt es auch ein viel einfacheren weg angela :) ?
gruß decehakan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Di 25.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> betrachte : [mm]\IQx^{n.n}[/mm] es gilt [mm]n²=dim\IQ^{n.n}[/mm]
>
> n² ist die Anzahl der Basen ,man muss mir doch ein n
> vorgeben damit ich dir darstellende Matrix berechnen kann
also [mm] $n^2$ [/mm] ist die mächtigkeit einer basis, also etwa hat eine basis des $2 [mm] \times [/mm] 2$-matrizenring [mm] $2^2 [/mm] = 4$ elemente.
> ,dann würde ich die Basen [mm]v_{i} \in \IQ^{n.n}[/mm] mit i=
> 1......n² nehmen
>
> [mm]v_{i}=[0,0....0,e(i),0,..0][/mm] mit e(i) [mm]\in \IQ^{n}[/mm] e(i) also
> mit e(i) meinen ich:
>
> die kanonische Zeilenmatrix wo der i-te zeileneintrag 1 ist
> und der rest null
>
> ehmm ja und jetzt ?
so erhälst du nur $n$ elemente, du brauchst aber [mm] $n^2$ [/mm] für eine basis. überlege dir doch mal, wie eine basis des $2 [mm] \times [/mm] 2 $-matrizenring beispielsweise aussehen könnte, dann kommst du vielleicht auch auf eine idee, wie eine basis im allgemeien aussehen könnte.
> so nebenbei ,gibt es auch ein viel einfacheren weg angela
> :) ?
man kann auch probieren einen basis aus "eigenvektoren", also in dem fall matrizen, die auf ein vielfaches ihrer selbst abgebildet werden, zu finden. überlege dir mal, welche matrizen durch $f$ auf sich selbst und welche matrizen durch $f$ auf das $(-1)$-fache ihrerselbst abgebildet werden.
grüße
andreas
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man ich weiß wie eine basis auseht dicka :) ,ich habs falsch definiert 
[mm] v_{i,j}=[0,0.....0,e(i)_{j},0,...0] [/mm] mit i,j [mm] \in \IN [/mm] das wären jetzt n² Basen
aber nach meiner obigen definition hast du recht ,dann kommt man auf n basen :)
"man kann auch probieren einen basis aus "eigenvektoren", also in dem fall matrizen, die auf ein vielfaches ihrer selbst abgebildet werden, zu finden" was meinst du damit ?bisschen unklar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Di 25.09.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> "man kann auch probieren einen basis aus "eigenvektoren",
> also in dem fall matrizen, die auf ein vielfaches ihrer
> selbst abgebildet werden, zu finden" was meinst du damit
> ?bisschen unklar
beantworte mal meine daran folgende frage:
überlege dir mal, welche matrizen durch $f$ auf sich selbst und welche matrizen durch $f$ auf das $(-1)$-fache ihrerselbst abgebildet werden.
(eventuell zuerst im fall $n = 2$.)
grüße
andreas
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Sei A [mm] \in \IQ^{n.n} [/mm] mit A [mm] \not=0 [/mm] und [mm] A^{T} [/mm] =A
=> [mm] f(A)=A^{T}= [/mm] 1* A => ist 1 Eigenwert ,
Sei B [mm] \in \IQ^{n.n} [/mm] mit B [mm] \not=0 [/mm] und [mm] B^{T} [/mm] =-B
dann gilt : [mm] f(B)=B^{T}=-1*B [/mm] => -1 ist Eigenwert
also das war bei nicht das problem ,was ich nicht so ganz verstehe ist das
nach aufgaben Stellung "Zeigen Sie ,dass 1 und -1 Eigenwerte von f sind und bestimmen Sie alle zugehörigen Eigenvektoren"
warum sagt man nicht für welche Matrizen ,dass 1 und -1 Eigenwert von f sind....?
bei der aufgaben stellung dachte ich ,ich muss für alle A [mm] \in \IQ^{n.n} [/mm] zeigen ,dass 1 und -1 eigenwert von f sind ...kann mir jemand da helfen ...thx
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die [mm] n\times [/mm] n Matrizen sind doch die "vektoren deines Vektorraums. jedes Element eines Vektorraums heisst Vektor dieses Raums. Wenn man den Vektorraum der Polynome betrachtet, sind die Polynome Vektoren usw, hier halt die Matrizen.
Du musst halt zeigen dass [mm] A^T=\lambda*A [/mm] nur die Lösungen 1 und -1 hat, und dann die da<zugehörigen matrizen suchen!
Gruss leduart
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