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| Aufgabe | Für eine lineare Abbildung F: [mm] \IR^n \to \IR^k [/mm] sei
[mm] ||F||_0 [/mm] := inf{C>0: ||F(x)|| [mm] \le [/mm] C*||x|| [mm] \forall [/mm] x aus [mm] \IR^n [/mm] }
Zeigen Sie, dass [mm] ||F||_0 [/mm] eine Norm auf dem Raum der linearen Abbildungen ist. |
Also ich denke mir, dass man hier nur die drei Eigenschaften einer Norm überprüfen muss, aber dann scheitert es schon bei mir.
Wenn Doch C>0 ist, kann dann die Norm überhaupt den Wert Null annehmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:49 Di 21.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für eine lineare Abbildung F: [mm]\IR^n \to \IR^k[/mm] sei
> [mm]||F||_0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= inf$\{$C>0: ||F(x)|| [mm]\le[/mm] C*||x|| [mm]\forall[/mm] x aus [mm]\IR^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
> Zeigen Sie, dass [mm]||F||_0[/mm] eine Norm auf dem Raum der
> linearen Abbildungen ist.
> Also ich denke mir, dass man hier nur die drei
> Eigenschaften einer Norm überprüfen muss, aber dann
> scheitert es schon bei mir.
> Wenn Doch C>0 ist, kann dann die Norm überhaupt den Wert
> Null annehmen?
dort steht doch nicht: [mm] $\|F\|_0=C$ [/mm] mit einem $C > [mm] 0\,,$ [/mm] sondern [mm] $\|F\|_0:=\blue{\inf} \{C > 0:\;\ldots\}\,.$
[/mm]
Beispielsweise ist [mm] $\inf \{1/n:\;n \in \IN\}=0\,,$ [/mm] obwohl $1/n > 0$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
Also bevor's nur an der Definitheit scheitert, rechne ich die gerne mal vor und mache eine Vorbemerkung:
Für wie oben gegebenes [mm] $F\,$ [/mm] ist die Menge
[mm] $$M=M_F:=\{C > 0:\;\|F\| \le C*\|x\|\;\;\;\;\forall x \in \IR^n\}$$
[/mm]
eine nach unten beschränkte Teilmenge von [mm] $\IR\,.$ [/mm] Wenn Du nun noch begründen kannst, dass $M [mm] \not=\emptyset$ [/mm] ist, so existiert [mm] $\inf M\,.$ [/mm] Und dann ist klar, dass, weil [mm] $\forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M: m > 0$ gilt, somit [mm] $\inf M=\inf M_F=\|F\|_0 \ge [/mm] 0$ ist.
Bei der Definitheit ist nun noch zu zeigen, dass [mm] $\|F\|_0=0$ [/mm] auch $F=0$ impliziert (d.h. [mm] $F(x)=0\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR^n$, [/mm] mit [mm] $0=(0,\,\ldots,\,0)^T \in \IR^k$, [/mm] gilt):
Gelte also [mm] $\|F\|_0=0\,.$ [/mm] Dann ist also [mm] $\inf M=0\,.$ [/mm] Folglich existiert eine Folge [mm] $(C_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $M\,$ [/mm] (d.h. [mm] $C_n \in [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] bzw.: Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt [mm] $C_n [/mm] > 0$ und [mm] $\|F(x)\| \le C*\|x\|$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR^n\,$) [/mm] mit der Eigenschaft
[mm] $$C_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \|F\|_0=0\,.$$
[/mm]
Für beliebiges $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] und beliebiges $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt
[mm] $$(\star)\;\;\;0 \le \|F(x)\| \le C_n*\|x\|\,.$$
[/mm]
Aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgt bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] somit
[mm] $$\|F(x)\|=0\,,$$
[/mm]
bzw. äquivalent dazu:
$$F(x)=0 [mm] \in \IR^k\,.$$
[/mm]
Also gilt [mm] $\|F\|_0=0 \Rightarrow F(x)=0\;\;\; \forall [/mm] x [mm] \in \IR^n \Rightarrow F=0\,.$
[/mm]
(Dass für die Nullabbildung $N: [mm] \IR^n \to \IR^k\,, [/mm] x [mm] \mapsto N(x):=(0,\,\ldots,\,0)^T \in \IR^k$ [/mm] auch [mm] $\|N\|_0=0$ [/mm] gilt, ist zwar banal und könnte man sich - bei entsprechend strukturiertem Beweisaufbau - auch ersparen, aber wir zeigen es trotzdem:
Für jedes $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] ist [mm] $\|N(x)\|=0\,,$ [/mm] also gilt für jedes $C > [mm] 0\,,$ [/mm] dass
[mm] $$\|N(x)\|=0 \le C*\|x\|\;\;\;\forall [/mm] x [mm] \in \IR^n\,.$$
[/mm]
Somit ist [mm] $(0,\infty) \subset M=M_N$ [/mm] und $M [mm] \subset (0,\infty)$ [/mm] ist nach Definition von [mm] $M\,$ [/mm] klar (Erinnerung: [mm] $M=\{\blue{C > 0}:\;\ldots\}$), [/mm] hier gilt also
[mm] $$M_N=(0,\infty)\,.$$
[/mm]
Damit ist [mm] $\|N\|_0=\inf M_N=\inf (0,\infty)=0\,.$
[/mm]
Erwähnen sollte man vielleicht auch, dass die Nullabbildung $N: [mm] \IR^n \to \IR^k,\;\IR^n \ni x=(x_1,...,x_n)^T \mapsto N(x):=0=(0,\,\ldots,\,0)^T \in \IR^k$ [/mm] eine lineare Abbildung [mm] $\IR^n \to \IR^k$ [/mm] ist. Denn [mm] $\|.\|_0$ [/mm] wird ja per Definitionem nur auf lineare Abbildungen [mm] $\IR^n \to \IR^k$ [/mm] angewendet.)
Was bleibt für Dich nun noch zu zeigen?
1.) Um obige Argumentation zu vervollständigen, ist es unabdinglich, für beliebiges lineares $F: [mm] \IR^n \to \IR^k$ [/mm] nachzuweisen, dass [mm] $M=M_F \not= \emptyset\,.$ [/mm] Damit wäre dann nachgewiesen, dass [mm] $\|.\|_0 \ge 0\,.$ [/mm] Die Definitheit folgt dann z.B. mit der obigen Argumentation.
2.) Die Homogenität und
3.) die Dreiecksungleichung
sind noch nachzuweisen. Probierst Du das nun mal selber?
Gruß,
Marcel
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