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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mi 09.12.2009 | | Autor: | versager |
| Aufgabe | Geg. sei die lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] mit
[mm] \alpha(x) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & -7} \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }
[/mm]
a.) Berechnen sie die Matrix B, die die Abbildung [mm] \alpha [/mm] bezüglich der folgendes Basen ausdrückt:
[mm] v_{1} [/mm] = ( 1,1,1 [mm] )^{T} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] = ( 1,1,0 [mm] )^{T} [/mm] , [mm] v_{3} [/mm] = ( 1,0,0 [mm] )^{T} [/mm] im [mm] \IR^{3} [/mm] ,
und [mm] w_{1} [/mm] = ( 1,3 [mm] )^{T} [/mm] , [mm] w_{2} [/mm] = ( 2,5 [mm] )^{T}
[/mm]
b.) Welche Koordinaten hat [mm] \alpha \pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 } [/mm] bezüglich der Basis [mm] \{w_{1} , w_{2}\} [/mm] ? |
so ich habe bei dieser Aufgaben schon meine Schwierigkeiten...
ich würde bei der Basis [mm] v_{1} v_{2} v_{3} [/mm] folgendes machen:
[mm] \alpha \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & -7}
[/mm]
so und nun suche ich dieses alpha....
also:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & -7} \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0}^{-1}
[/mm]
wäre das soweit richtig?
dann bekomme ich die Matrix alpha die diese Bedingung erfüllt.
aber wie mache ich das mit der Basis im [mm] \IR^{2} [/mm] ? also Basis : [mm] w_{1} [/mm] = ( 1,3 [mm] )^{T} [/mm] , [mm] w_{2} [/mm] = ( 2,5 [mm] )^{T}
[/mm]
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> Geg. sei die lineare Abbildung [mm]\alpha[/mm] : [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm]
> mit
>
>
> [mm]\alpha(x)[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & -7} \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
>
> a.) Berechnen sie die Matrix B, die die Abbildung [mm]\alpha[/mm]
> bezüglich der folgendes Basen ausdrückt:
>
> [mm] B_v:=([/mm] [mm]v_{1}[/mm] = ( 1,1,1 [mm])^{T}[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] = ( 1,1,0 [mm])^{T}[/mm] , [mm]v_{3}[/mm] = (
> 1,0,0 [mm])^{T}[/mm] ) im [mm]\IR^{3}[/mm] ,
> und [mm] B_w:=([/mm] [mm]w_{1}[/mm] = ( 1,3 [mm])^{T}[/mm] , [mm]w_{2}[/mm] = ( 2,5 [mm])^{T})[/mm]
Hallo,
die gesuchte Matrix enthält in der i-ten Spalte das Bild von [mm] v_i [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] (w_1, w_2)
[/mm]
Damit sollte ein Plan zur Ermittlung der Matrix stehen.
Du wolltest offensichtlich einen etwas anderen Weg einschlagen, den Weg über die Transformationsmatrizen.
[mm] \pmat{ 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & -7} [/mm] ist ja die Darstellende Matrix bzgl der beiden Standardbasen [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2, [/mm] also [mm] _E_2M(\alpha)_E_3=\pmat{ 2 & 5 & -3 \\ 1 & -4 & -7} [/mm] .
Möchtest Du [mm] _B_wM(\alpha)_B_v, [/mm] so mußt Du rechts die Transformationsmatrix [mm] T:=_E_3M(id)_B_v [/mm] , welche Dir Vektoren in Koordinaten bzgl [mm] B_v [/mm] in solche bzgl [mm] E_3 [/mm] umwandelt, heranmultiplizieren,
links die Transformationsmatrix [mm] S^{-1}:=_B_wM(id)_E_2 [/mm] , welche Dir Vektoren in Koordinaten bzgl [mm] E_2 [/mm] in solche bzgl [mm] B_w [/mm] umwandelt.
Die Matrix T ist sehr einfach aufzustellen: in ihren Spalten stehen die Basisvektoren von [mm] B_v.
[/mm]
Den Rest bekommst Du jetzt sicher allein hin, zumindest ein Stückchen.
Am Ende sollte dieselbe Matrix dastehen wie die, die man auf dem zuerst angedeuteten Weg erhält.
Gruß v. Angela
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