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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Do 17.02.2011 | | Autor: | Flock |
| Aufgabe | | Es seien [mm] v_{1} [/mm] = (1 -1 0) [mm] v_{2}= [/mm] (-2 1 0) [mm] v_{3} [/mm] = (1 0 1) und [mm] w_{1}= [/mm] (1 0 0) [mm] w_{2} [/mm] = (0 1 0), [mm] w_{3} [/mm] = (0 0 1) gegeben. Gibt es eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] f(v_{i}) [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] für i = 1,2,3 und ist sie eindeutig? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, Forum!
Ich habe zur folgenden Aufgabe nach etwas Ausprobieren herasubekommen, dass
[mm] w_{1} [/mm] = [mm] -(v_{1} [/mm] + [mm] v_{2})
[/mm]
[mm] w_{2} [/mm] = [mm] -2*v_{1} [/mm] + [mm] v_{2}
[/mm]
[mm] w_{3} [/mm] = [mm] v_{1}+v_{2}+v_{3}
[/mm]
Also gibt es schon mal eine Abbildung. Ich habe wieder etwas herumprobiert und habe folgende Abbildungsmatrix herausbekommen:
[mm] \pmat{ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Diese Matrix ist eindeutig, allerdings weiß ich nicht wie ich das mathematisch zeigen soll.
Ist meine obige Rechnung soweit richtig?
Geht die Aufgabe nach einem bestimmten Schema, ohne "Ausprobieren" oder Intuition? Es würde mich interessieren, denn es würde mir in der Klausur sehr viel Zeit kosten, bis ich die Aufgabe gelöst habe.
Danke im Voraus für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] (mach Dir das klar !)
Klar dürfte sein: [mm] \{w_1,w_2,w_3\} [/mm] ist ebenfalls eine Basis des [mm] \IR^3
[/mm]
Wenn Du nun definierst: $ [mm] f(v_{i}):= w_{i} [/mm] $ für i = 1,2,3 und dann für [mm] $x=av_1+bv_2+cv_3$ \in \IR^3:
[/mm]
(*) $ f(x):= [mm] aw_1+bw_2+cw_3$ [/mm] ,
so kannst Du leicht nachprüfen, dass f linear ist und durch (*) eindeutig bestimmt ist.#
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Do 17.02.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo, Fred!
Danke für eine sehr schnelle Antwort.
Kann man das so machen?
Ich nehme an f ist linear...
[mm] f(a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3}) [/mm] = [mm] a*f(v_{1}) [/mm] + [mm] b*f(v_{2}) [/mm] + [mm] c*f(v_{3}) [/mm] = [mm] a*w_{1} [/mm] + [mm] b*w_{2} [/mm] + [mm] c*w_{3}. [/mm] was (*) war. Damit ist f eindeutig und linear.
Flock
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, Fred!
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> Danke für eine sehr schnelle Antwort.
>
> Kann man das so machen?
> Ich nehme an f ist linear...
Nein. Du definierst f so, wie ich es Dir oben gesagt habe und zeigst dann , dass f linear ist
FRED
> [mm]f(a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm] + [mm]c*v_{3})[/mm] = [mm]a*f(v_{1})[/mm] + [mm]b*f(v_{2})[/mm]
> + [mm]c*f(v_{3})[/mm] = [mm]a*w_{1}[/mm] + [mm]b*w_{2}[/mm] + [mm]c*w_{3}.[/mm] was (*) war.
> Damit ist f eindeutig und linear.
>
> Flock
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 17.02.2011 | | Autor: | Flock |
Um zu prüfen, ob etwas linear ist, muss ich ja folgendes zeigen:
1: [mm] f(a*v_{i}) [/mm] = [mm] a*f(v_{i})
[/mm]
2: [mm] f(v_{i} [/mm] + [mm] v_{j}) [/mm] = [mm] f(v_{i}) [/mm] + [mm] f(v_{j})
[/mm]
Es gilt nach Aufgabe: [mm] f(v_{i}) [/mm] =: [mm] w_{i}... [/mm] soweit so gut
Nun:
f(x) = [mm] a*w_{1} [/mm] + [mm] b*w_{2} [/mm] + [mm] c*w_{3}
[/mm]
Ich setzte die Definition ein und erhalte:
f(x) = [mm] a*f(v_{1}) [/mm] + [mm] b*f(v_{2}) [/mm] + [mm] c*f(v_{1})...
[/mm]
x ist definiert als: x = [mm] a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3}, [/mm] das setzte ich dann ein:
[mm] f(a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3})= a*f(v_{1}) [/mm] + [mm] b*f(v_{2}) [/mm] + [mm] c*f(v_{1})... [/mm] und das ist gerade die Voraussetzung für die Linearität. Da die Abbildung linear ist, ist sie somit auch eindeutig, oder?
ich hoffe, dass es jetzt halbwegs ok ist, was ich hingeschrieben habe.
Flock
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Um zu prüfen, ob etwas linear ist, muss ich ja folgendes
> zeigen:
>
> 1: [mm]f(a*v_{i})[/mm] = [mm]a*f(v_{i})[/mm]
>
> 2: [mm]f(v_{i}[/mm] + [mm]v_{j})[/mm] = [mm]f(v_{i})[/mm] + [mm]f(v_{j})[/mm]
>
> Es gilt nach Aufgabe: [mm]f(v_{i})[/mm] =: [mm]w_{i}...[/mm] soweit so gut
> Nun:
> f(x) = [mm]a*w_{1}[/mm] + [mm]b*w_{2}[/mm] + [mm]c*w_{3}[/mm]
> Ich setzte die Definition ein und erhalte:
> f(x) = [mm]a*f(v_{1})[/mm] + [mm]b*f(v_{2})[/mm] + [mm]c*f(v_{1})...[/mm]
> x ist definiert als: x = [mm]a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm] + [mm]c*v_{3},[/mm] das
> setzte ich dann ein:
> [mm]f(a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm] + [mm]c*v_{3})= a*f(v_{1})[/mm] + [mm]b*f(v_{2})[/mm] +
> [mm]c*f(v_{1})...[/mm] und das ist gerade die Voraussetzung für die
> Linearität. Da die Abbildung linear ist,
Das hast Du nicht gezeigt !
Zeige: f(x+y)=f(x)+f(y) und f(tx)=tf(x) für x,y [mm] \in \IR^3 [/mm] und t [mm] \in \IR
[/mm]
> ist sie somit
> auch eindeutig, oder?
Auch das mußt Du noch zeigen ! Nimm an, Du hast noch eine weitere lineare Abb. g mit [mm] g(v_i)= w_i [/mm] (i=1,2,3)
Dann betrachte h:=f-g. h ist linear und [mm] h(v_i)=0 [/mm] für i=1,2,3. Warum ist dann h die Nullabbildung ?
FRED
> ich hoffe, dass es jetzt halbwegs ok ist, was ich
> hingeschrieben habe.
>
> Flock
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:30 Do 17.02.2011 | | Autor: | Flock |
Achso, ich muss also noch einen beliebigen Vektor herauspicken und f(x+y) = f(x)+f(y) zeigen.
dann hat man so viel Schreibarbeit:
x = [mm] a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3}
[/mm]
y = [mm] d*v_{1} [/mm] + [mm] e*v_{2} [/mm] + [mm] g*v_{3} [/mm]
x+y= [mm] a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3} [/mm] + [mm] d*v_{1} [/mm] + [mm] e*v_{2} [/mm] + [mm] g*v_{3} [/mm]
f(x+y) = [mm] f(a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3} [/mm] + [mm] d*v_{1} [/mm] + [mm] e*v_{2} [/mm] + [mm] g*v_{3}) [/mm] Da auch f(x+y) = [mm] z*w_{1} [/mm] + [mm] u*w_{2} [/mm] + [mm] i*w_{3} [/mm] + [mm] k*w_{1} [/mm] + [mm] l*w_{2} [/mm] + [mm] m*w_{3} [/mm] gilt, folgt:
[mm] f(a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3} [/mm] + [mm] d*v_{1} [/mm] + [mm] e*v_{2} [/mm] + [mm] g*v_{3}) [/mm] = [mm] z*w_{1} [/mm] + [mm] u*w_{2} [/mm] + [mm] i*w_{3} [/mm] + [mm] k*w_{1} [/mm] + [mm] l*w_{2} [/mm] + [mm] m*w_{3} [/mm] = [mm] z*f(v_{1}) [/mm] + [mm] u*f(v_{2}) [/mm] + [mm] i*f(v_{3}) [/mm] + [mm] k*f(v_{1}) [/mm] + [mm] l*f(v_{2}) [/mm] + [mm] m*f(v_{3}) [/mm] = f(x) + f(y)
Dann muss ich aber zeigen, dass z=a,u=b,i=c, sowie d=k,e=l, g=m... da bin ich mir noch unsicher, wie das gehen soll...
Die Vektoren haben ja nicht unbedingt die gleiche Darstellung bezüglich unterschiedlicher Basen.
analog geht es dann mit f(t*x)...
h:= f - g, ist genau dann eine Nullabbildung, wenn f und g identisch sind. Sprich, ich bilde den gleichen Vektor x mit g und f ab, sehe, dass das gleiche herauskommt, dann ist h = 0 und somit ist die Abbildung eindeutig. Nur: wie schreibe ich das mathematisch auf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 19.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
ich weiß nicht wie das bei euch behandelt wurde. Man kann leicht einen Satz aufstellen, dass eine lineare Abbildung eindeutig durch die Bilder der Basisvektoren des 'Ur-'vektorraums bestimmt ist.
Falls dir dieser Sachverhalt z. B. aus der Vorlesung bekannt ist, reicht es die lineare Unabhängigkeit der Vektoren [mm] v_1,v_2, v_3 [/mm] zu zeigen und dann den Satz zu zitieren. Eine geläufige Bezeichnung des Satzes ist ![[]](/images/popup.gif) Satz von der linearen Fortsetzung.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Di 22.02.2011 | | Autor: | Flock |
Hallo, Kamaleonti!
Danke für den Hinweis über den Satz von der linearen Fortsetzung. Jetzt habe ich komplett verstanden wie der Aufgabentyp geht.
Gruss
Flock
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