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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung [mm] \varphi: \IR^4 ->\IR^4 [/mm] mit
[mm] \varphi \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{x_1+x_2+x_3+x_4\\-x_1+x_2+x_4\\-2x_1-x_3\\-x_1-3x_2-x_3+x_4}
[/mm]
Geben sie die Matrix von [mm] \varphi [/mm] bezüglich der Standardbasis von [mm] \IR^4 [/mm] an und bestimmen sie eine Basis des Bildes von [mm] \varphi.Welchen [/mm] Rang hat [mm] \varphi? [/mm] Ist [mm] \varphi [/mm] invertierbar? Welche Dimension hat der Kern? |
Hallo,
wollte fragen, ob jemand drüber schauen kann, ob ich das richtig gemacht habe.
Die Matrix von [mm] \varphi [/mm] bezüglich der Standardbasis von [mm] \IR^4 [/mm] ist:
[mm] \pmat{1&1&1&1\\-1&1&0&1\\-2&0&-1&0\\-1&-3&-1&1}
[/mm]
Rang:
Der Rang ist gleich der Zeilen, die durch umformen nicht Null werden.
In unserem Fall:
[mm] \pmat{1&1&1&1\\-1&1&0&1\\-2&0&-1&0\\-1&-3&-1&1}\to \pmat{1&1&1&1\\0&2&1&2\\0&2&1&2\\0&-2&0&2}\to \pmat{1&1&1&1\\0&2&1&2\\0&0&0&0\\0&0&1&4}\to [/mm]
[mm] \pmat{1&1&1&1\\0&2&1&2\\0&0&1&4\\0&0&0&0}
[/mm]
rank=3
Invertierbarkeit: Da [mm] \varphi [/mm] keinen vollen Rang hat, ist sie nicht invertierbar
Basis des Bildes:
Bild der Matrix ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Spalten. Dazu transporniert man die Matrix, wendet Gauss an und das, was nicht zur Nullzeile wird, sind die Bilder der Matrix
[mm] A=\pmat{1&1&1&1\\-1&1&0&1\\-2&0&-1&0\\-1&-3&-1&1}
[/mm]
[mm] A^T=\pmat{1&-1&-2&-1\\1&1&0&-3\\1&0&-1&-1\\1&1&0&1}
[/mm]
Gauss:
[mm] \pmat{1&-1&-2&-1\\1&1&0&-3\\1&0&-1&-1\\1&1&0&1}\to \pmat{1&-1&-2&-1\\0&2&2&-4\\0&1&1&-2\\0&2&2&0}\to\pmat{1&-1&-2&-1\\0&2&2&-4\\0&0&0&0\\0&0&0&-4}
[/mm]
Die Bilder der Matrix sind also: [mm] \vektor{1\\-1\\-2\\1},\vektor{0\\2\\2\\-4},
[/mm]
[mm] \vektor{0\\0\\0\\-4}
[/mm]
Damit sie eine Basis bilden müssen sie linear unabhängig sein, d.h. es muss gelten [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0
[/mm]
Das dies der Fall ist sieht man sofort.
Dimension des Kerns:
[mm] \pmat{1&1&1&1\\-1&1&0&1\\-2&0&-1&0\\-1&-3&-1&1}
[/mm]
durch Umformungen erhalte ich:
[mm] \pmat{1&1&1&1\\0&2&1&2\\0&0&1&4\\0&0&0&0}
[/mm]
D.h. ich erhalte das Gleichungssystem:
I [mm] x_1+x_2+x_3+x_4=0 \to x_1=-x_2-x_3-x_4
[/mm]
II [mm] 2x_2+x_3+2x_4=0 \to x_2=-\bruch{1}{2}x_3-x_4
[/mm]
[mm] IIIx_3+4x_4=0 \to x_3=-4x
[/mm]
D.h. [mm] x_4 [/mm] ist eine freie Variable und der Rest sind gebundene
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{-x_2-x_3-x_4\\-\bruch{1}{2}x_3-x_4\\-4x_4\\x_4}=x_4\vektor{-1\\-1\\-4\\1}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig und wie mach ich weiter?
Danke im voraus!
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> Gegeben sei die lineare Abbildung [mm]\varphi: \IR^4 ->\IR^4[/mm]
> mit
>
> [mm]\varphi \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{x_1+x_2+x_3+x_4\\-x_1+x_2+x_4\\-2x_1-x_3\\-x_1-3x_2-x_3+x_4}[/mm]
>
> Geben sie die Matrix von [mm]\varphi[/mm] bezüglich der
> Standardbasis von [mm]\IR^4[/mm] an und bestimmen sie eine Basis des
> Bildes von [mm]\varphi.Welchen[/mm] Rang hat [mm]\varphi?[/mm] Ist [mm]\varphi[/mm]
> invertierbar? Welche Dimension hat der Kern?
> Hallo,
>
> wollte fragen, ob jemand drüber schauen kann, ob ich das
> richtig gemacht habe.
>
> Die Matrix von [mm]\varphi[/mm] bezüglich der Standardbasis von
> [mm]\IR^4[/mm] ist:
>
> [mm]\pmat{1&1&1&1\\-1&1&0&1\\-2&0&-1&0\\-1&-3&-1&1}[/mm]
>
>
> Rang:
> Der Rang ist gleich der Zeilen, die durch umformen nicht
> Null werden.
> In unserem Fall:
> [mm]\pmat{1&1&1&1\\-1&1&0&1\\-2&0&-1&0\\-1&-3&-1&1}\to \pmat{1&1&1&1\\0&2&1&2\\0&2&1&2\\0&-2&0&2}\to \pmat{1&1&1&1\\0&2&1&2\\0&0&0&0\\0&0&1&4}\to[/mm]
> [mm]\pmat{1&1&1&1\\0&2&1&2\\0&0&1&4\\0&0&0&0}[/mm]
>
> rank=3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Invertierbarkeit: Da [mm]\varphi[/mm] keinen vollen Rang hat, ist
> sie nicht invertierbar
>
>
> Basis des Bildes:
>
> Bild der Matrix ist gleich der Anzahl linear unabhängiger
> Spalten. Dazu transporniert man die Matrix, wendet Gauss an
> und das, was nicht zur Nullzeile wird, sind die Bilder der
> Matrix
>
>
> [mm]A=\pmat{1&1&1&1\\-1&1&0&1\\-2&0&-1&0\\-1&-3&-1&1}[/mm]
>
> [mm]A^T=\pmat{1&-1&-2&-1\\1&1&0&-3\\1&0&-1&-1\\1&1&0&1}[/mm]
>
>
> Gauss:
> [mm]\pmat{1&-1&-2&-1\\1&1&0&-3\\1&0&-1&-1\\1&1&0&1}\to \pmat{1&-1&-2&-1\\0&2&2&-4\\0&1&1&-2\\0&2&2&0}\to\pmat{1&-1&-2&-1\\0&2&2&-4\\0&0&0&0\\0&0&0&-4}[/mm]
Die rot markierten Zahlen in der Matrix
[mm]\pmat{1&-1&-2&-1\\0&2&2&\red{-4} \\0&1&1&\red{-2} \\0&2&2& \red{0}}[/mm]
stimmen nicht.
>
> Die Bilder der Matrix sind also:
> [mm]\vektor{1\\-1\\-2\\1},\vektor{0\\2\\2\\-4},[/mm]
> [mm]\vektor{0\\0\\0\\-4}[/mm]
>
> Damit sie eine Basis bilden müssen sie linear unabhängig
> sein, d.h. es muss gelten [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm]
>
> Das dies der Fall ist sieht man sofort.
>
> Dimension des Kerns:
>
> [mm]\pmat{1&1&1&1\\-1&1&0&1\\-2&0&-1&0\\-1&-3&-1&1}[/mm]
>
> durch Umformungen erhalte ich:
>
> [mm]\pmat{1&1&1&1\\0&2&1&2\\0&0&1&4\\0&0&0&0}[/mm]
>
>
> D.h. ich erhalte das Gleichungssystem:
>
> I [mm]x_1+x_2+x_3+x_4=0 \to x_1=-x_2-x_3-x_4[/mm]
>
> II [mm]2x_2+x_3+2x_4=0 \to x_2=-\bruch{1}{2}x_3-x_4[/mm]
>
> [mm]IIIx_3+4x_4=0 \to x_3=-4x[/mm]
>
> D.h. [mm]x_4[/mm] ist eine freie Variable und der Rest sind
> gebundene
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{-x_2-x_3-x_4\\-\bruch{1}{2}x_3-x_4\\-4x_4\\x_4}=x_4\vektor{-1\\-1\\-4\\1}[/mm]
Die rot markierten Zahlen stimmen nicht:
[mm]x_4\vektor{\red {-1}\\\red{-1}\\-4\\1}[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig und wie mach ich weiter?
>
>
> Danke im voraus!
>
> Lg Melisa
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
vielen dank erstmal für die Korrektur.
>
>
> Die rot markierten Zahlen in der Matrix
>
> [mm]\pmat{1&-1&-2&-1\\0&2&2&\red{-4} \\0&1&1&\red{-2} \\0&2&2& \red{0}}[/mm]
>
> stimmen nicht.
>
>
Das hab ich verbessert, hatte auf meinem blatt ein - Zeichen vergessen
die rot makierten Zahlen müssten -2 0 2 lauten
Die Bilder der Matrix sind also:
[mm][mm] \vektor{1\\-1\\-2\\1},\vektor{0\\2\\2\\ \red{-2 }},
[/mm]
[mm][mm] \vektor{0\\0\\0\\-4}
[/mm]
Bis auf die rote zahl hat sich da nichts verändert.
>
>
> >
> > D.h. [mm]x_4[/mm] ist eine freie Variable und der Rest sind
> > gebundene
> >
> >
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{-x_2-x_3-x_4\\-\bruch{1}{2}x_3-x_4\\-4x_4\\x_4}=x_4\vektor{-1\\-1\\-4\\1}[/mm]
>
>
> Die rot markierten Zahlen stimmen nicht:
>
> [mm]x_4\vektor{\red {-1}\\\red{-1}\\-4\\1}[/mm]
Hier versteh ich aber leider nicht, warum die zahlen falsch sind. Zum Beispiel bei der ersten dachteich : [mm] -x_2-x_3-x_4=0 [/mm] folgt doch -1 da vor [mm] x_4 [/mm] nur - steht also -1 oder nicht?
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> Hallo,
>
>
> vielen dank erstmal für die Korrektur.
>
> >
> >
> > Die rot markierten Zahlen in der Matrix
> >
> > [mm]\pmat{1&-1&-2&-1\\0&2&2&\red{-4} \\0&1&1&\red{-2} \\0&2&2& \red{0}}[/mm]
>
> >
> > stimmen nicht.
> >
> >
>
>
> Das hab ich verbessert, hatte auf meinem blatt ein -
> Zeichen vergessen
>
> die rot makierten Zahlen müssten -2 0 2 lauten
>
So ist es.
> Die Bilder der Matrix sind also:
> [mm][mm]\vektor{1\\-1\\-2\\1},\vektor{0\\2\\2\\ \red{-2 }},[/mm]
[mm][mm]\vektor{0\\0\\0\\-4}[/mm]
[ok]
> [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]Bis auf die rote zahl hat sich da nichts verändert.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]> [/mm][/mm]
> [mm][mm]> [/mm][/mm]
> [mm][mm]> > [/mm][/mm]
> [mm][mm]> > D.h. [mm]x_4[/mm] ist eine freie Variable und der Rest sind [/mm][/mm]
> [mm][mm]> > gebundene[/mm][/mm]
> [mm][mm] > > [/mm][/mm]
> [mm][mm]> > [/mm][/mm]
> [mm][mm]> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{-x_2-x_3-x_4\\-\bruch{1}{2}x_3-x_4\\-4x_4\\x_4}=x_4\vektor{-1\\-1\\-4\\1}[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] > [/mm][/mm]
> [mm][mm]> [/mm][/mm]
> [mm][mm]> Die [red]rot[/red] markierten Zahlen stimmen nicht:[/mm][/mm]
> [mm][mm] > [/mm][/mm]
> [mm][mm]> [mm]x_4\vektor{\red {-1}\\\red{-1}\\-4\\1}[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Hier versteh ich aber leider nicht, warum die zahlen falsch sind. Zum Beispiel bei der ersten dachteich : [mm]-x_2-x_3-x_4=0[/mm] folgt doch -1 da vor [mm]x_4[/mm] nur - steht also -1 oder nicht?[/mm][/mm]
Es gilt doch
[mm]x_ {2}=-\bruch{1}{2}*x_{3}-x_{4}=-\bruch{1}{2}*\left(-4\right)*x_{4}-x_{4}=\left(2-1\right)*x_{4}=x_{4}[/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm]Lg Melisa [/mm][/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
achsooo 
dann gilt also
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{-x_2-x_3-x_4\\-\bruch{1}{2}x_3-x_4\\-4x_4\\x_4}=x_4\vektor{-3\\1\\-4\\1}
[/mm]
ist die dimension vom kern 4? :-S
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Hallo melisa1,
> achsooo
>
> dann gilt also
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{-x_2-x_3-x_4\\-\bruch{1}{2}x_3-x_4\\-4x_4\\x_4}=x_4\vektor{-3\\1\\-4\\1}[/mm]
>
Der Lösungsvektor muss hier lauten: [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\pmat{-x_2-x_3-x_4\\-\bruch{1}{2}x_3-x_4\\-4x_4\\x_4}=x_4\vektor{\blue {2}\\1\\-4\\1}[/mm]
>
> ist die dimension vom kern 4? :-S
Nein, die Dimension vom Kern ist 1.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 17.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
ok habs geraft 1 weil wir nur denn vektor mit [mm] x_4 [/mm] haben super danke für deine Hilfe!
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