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| Aufgabe | Habe Verständnisfragen, die ich nicht weiß, wie ich sie bwantworten soll.
1) Gibt es lineare Gleichungssyteme mit genau zwei Lösungen
2) Ist jeder lineare Abbildung [mm]\gamma : \IR^2\mapsto \IR^3[/mm] injenktiv?
3) Seien V ein [mm]\IC[/mm]-Vektorraum und [mm]\gamma : V\mapsto V[/mm] ein Endormophismus mit [mm]\gamma\circ\gamma=2*\gamma[/mm] Welche Eigenwerte kann [mm]\gamma[/mm] höchstens haben ?
4) Gibt es Matritzen A,B [mm]\in M_3,_3(\IR)[/mm] mi Rang(A)=Rang(B)=2 mit A*B=0 |
Zu 1) Meines erachtens gibt es nur LGS, die eindeutig sind, also eine Lösung haben oder hatlt unendlich viele Lösungen haben. ( Oder keine Lösung natürlich) Aber wie zeige ich das?
Zu 2) Generell würde ich sagen nein. injenktiv bedeutet ja, dass der kern als Lösung nur aus dem Nullelement besteht. Aber ich sehe da keine verbindung zur linearen Abbildung? Beid er linearen abbildung muss doch das Nullelemnt auf das Nullelemt abgebildet werden, aber hat nicht wirklich was mit dem kern zu tun?
würden wir uns in [mm] R^n [/mm] befinden, würde ich ein gegenbeispiel zeigen:
Sei V--> V mit ([mm](x_1,x_2,x_3,.....)\to (x_1+x_2,x_2+x_3,.....)[/mm] diese ist linear, aber nicht injenktiv, da kern [mm]\gamma[/mm][mm]\neq\left \{ \ 0 \}[/mm]
Aber was ist bei [mm] R^2--->R^3, [/mm] kann ich da einfach dieses bsp. anbieten
[mm](x_1,x_2)\to (0,0,x_1+x_2)[/mm] diese wäre auch linear, aber nicht injenktiv.
Zu3) habe ich keinen ansatzt spontan würde ich sagen, dass es höchstens die eigenwerte 0 und 2 haben kann.
Zu4)
ich weiß da nich wie ich da rangehen soll. habe es mit allem probiert. Rang 2, heisst ja, dass der kern 1 dimensional ist, aber was hilft mir das? ich weiß es nicht, aber ich hatte mal irgendwann so ne ähnliche aufgabe gerechnet, wo ich dann so ne Matrix angeben sollte. Da hatte meine matrix nur rang 1. Bitte um hilfe
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Zu 1.
Die Frage hast du richtig beantwortet. Diese Grundtatsachen über lineare Gleichungssysteme werden in jeder Anfängervorlesung bewiesen. (Allerdings spricht man nicht in allen von dir angegebenen Fällen von Eindeutigkeit.)
Zu 2.
Rede nicht lange herum und gib ein konkretes Gegenbeispiel an. Du kannst mit größter Brutalität vorgehen.
Zu 3.
Für das Polynom [mm]f(z) = z^2 - 2z[/mm] gilt [mm]f(\gamma) = 0[/mm]. Was folgt daraus über das Minimalpolynom von [mm]\gamma[/mm] ?
Zu 4.
Seien [mm]\varphi,\psi[/mm] die bezüglich einer vorgegebenen Basis zu den Matrizen [mm]A,B[/mm] gehörigen linearen Abbildungen von [mm]V = \mathbb{R}^3[/mm].
Wäre nun [mm]\varphi \circ \psi = 0[/mm], so gälte [mm]\psi(x) \in \operatorname{Kern} \varphi[/mm] für alle [mm]x \in V[/mm], mit anderen Worten also
[mm]\operatorname{Bild} \psi \subseteq \operatorname{Kern} \varphi[/mm]
Nach Vorgabe ist [mm]\operatorname{dim} \left( \operatorname{Bild} \psi \right) = 2[/mm]. Somit kämen für [mm]\operatorname{dim} \left( \operatorname{Kern} \varphi \right)[/mm] wegen [mm]\operatorname{dim} V = 3[/mm] nur die Werte 2 oder 3 in Frage. Wie paßt das zur Tatsache, daß [mm]\operatorname{dim} \left( \operatorname{Bild} \varphi \right) = 2[/mm] ist?
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Zu 2) habe ich doch oben ein Gegenbeispiel gezeigt. Wäre super, wenn du das dir mal anschauen könntest.
Zu4)
Es klingt einleuchtend,w as du da geschrieben hast. Mal schauen, ob ichs verstanden habe. Da Bild[mm]\Psi\subseteq Kern(\gamma)[/mm] folgt ja daraus wie du geschriben hast dass [mm] Kern(\gamma)[/mm] 2bzw. 3 sein muss.
Da aber der Rang 2 ist, kann der Kern nur 1-Dimensional sein. Und das ist ein Wiederspruch zu 2=Rang([mm]\Psi[/mm])=Bild [mm]\Psi\subseteq Kern(\gamma)[/mm]=1
Das heißt man findet keine Matritzen A und B mit A*B=0
Hab ichs richtig verstanden?
Zu 3) Dass es nur die Eigenwerte 0 und 2 haben kann? ´Hier steh ich noch auf dem schlauch
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Dein Gegenbeispiel bei 2) stimmt. Du könntest es dir allerdings noch einfacher machen, sozusagen brutalstmöglich.
Deine Argumentation bei 4) stimmt im wesentlichen. Bringe aber die beiden Ebenen nicht durcheinander: Ränge oder Dimensionen sind Zahlen. Sie können mit "gleich", "kleiner gleich" und so weiter verglichen werden. Dagegen sind Kerne und Bilder Mengen. Da gibt es kein "kleiner gleich", sondern nur ein "Untermenge von oder gleich".
Und bei 3): Was zeichnet denn das Minimalpolynom einer Matrix aus? In welchem Zusammenhang steht es mit anderen Polynomen, die bei der Matrix von Interesse sind?
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