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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildung
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Lineare Abbildung: Injektivität beweisen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Do 05.01.2012
Autor: fe11x

Aufgabe
Beweise:
Die Lineare Abbildung L(V,W) [mm] \to [/mm] L(W*, V*) : f [mm] \to f^{T} [/mm] ist injektiv.

* ...... steht für Dualraum
[mm] f^{T} [/mm] .... ist die transponierte Abbildung

hej leute

kann mir vielleicht jemand bei dieser aufgabe weiterhelfen?
ich steh da echt an.
ich weiß nicht mal wie ich ansetzen soll

danke im voraus.
grüße
fe11x

        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Do 05.01.2012
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Beweise:
>  Die Lineare Abbildung L(V,W) [mm]\to[/mm] L(W*, V*) : f [mm]\to f^{T}[/mm]
> ist injektiv.
>  
> * ...... steht für Dualraum
>  [mm]f^{T}[/mm] .... ist die transponierte Abbildung
>  hej leute
>  
> kann mir vielleicht jemand bei dieser aufgabe
> weiterhelfen?
>  ich steh da echt an.
>  ich weiß nicht mal wie ich ansetzen soll

Wie sieht denn der Kern der Abbildung aus?

>  
> danke im voraus.
>  grüße
>  fe11x

Gruß
schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Do 05.01.2012
Autor: fe11x

nun gut, wenn die abbildung injektiv ist, dann muss der kern aus dem nullvektor bestehen.
aber wie bitte zeig ich das?

ich hab hier keine abbildung sondern die abbildung von abbildungen, das irritiert mich ziemlich :)

Bezug
                        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:15 Do 05.01.2012
Autor: Schadowmaster

moin fe11fx

Dass die Null im Kern liegt ist ja immer so.
Nun sollst du zeigen, dass sonst nichts drinn liegt.
Überleg dir, wobei eine Matrix im Kern landen könnte.
Kann beim Transponieren aus einer Matrix, die nicht die Nullmatrix ist, eine Nullmatrix werden?
Kann eine Matrix, die als Abbildung von V nach W aufgefasst nicht die Nullabbildung ist, zur Nullabbildung von W* nach V* werden?
Bedenke dafür insbesondere, welche Dimension die einzelnen Vektorräume haben und was die Matrix für eine Basis bedeutet (Stichwort: "Bilder der Basis -> Matrix").


lg

Schadow

Bezug
        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Do 05.01.2012
Autor: fred97


> Beweise:
>  Die Lineare Abbildung L(V,W) [mm]\to[/mm] L(W*, V*) : f [mm]\to f^{T}[/mm]
> ist injektiv.
>  
> * ...... steht für Dualraum
>  [mm]f^{T}[/mm] .... ist die transponierte Abbildung
>  hej leute
>  
> kann mir vielleicht jemand bei dieser aufgabe
> weiterhelfen?
>  ich steh da echt an.
>  ich weiß nicht mal wie ich ansetzen soll
>  
> danke im voraus.
>  grüße
>  fe11x


Du brauchst nur die Definition:

               [mm] f^T(\alpha)(x)= \alpha(f(x)) [/mm]   für alle x [mm] \in [/mm] V und alle [mm] \alpha \in [/mm] W*

Nun nimm an, dass [mm] f^T=0 [/mm] ist.  Folgere: f=0

FRED

Bezug
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