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Forum "Lineare Abbildungen" - Lineare Abbildung
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Lineare Abbildung: Aufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 12:26 Mo 25.03.2013
Autor: fred97

Aufgabe
Ich bin mal wieder auf eine schöne Aufgabe gestoßen, die ich diesem Forum nicht vorenthalten möchte:

Sei $ n [mm] \in \IN$, [/mm] $S$ eine endliche Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] mit $0 [mm] \in [/mm] S$ und $g:S [mm] \to [/mm] S$ eine Abbildung mit den Eigenschaften

    $g(0)=0$

und

    [mm] ||g(s)-g(t)||_2=||s-t||_2 [/mm]  für alle $s,t [mm] \in [/mm] S$.

[mm] (||*||_2 [/mm] bezeichne die euklidische Norm auf [mm] \IR^n) [/mm]

Man zeige, dass es eine lineare Abbildung $f: [mm] \IR^n \to \IR^n$ [/mm] gibt mit der Eigenschaft [mm] f_{|S}=g. [/mm]

Es wäre nett, wenn sich einer der Moderatoren die Mühe machen würde, die Aufgabe in der üblichen Weise zu dekorieren.

Gruß FRED

        
Bezug
Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Di 26.03.2013
Autor: fred97


> Ich bin mal wieder auf eine schöne Aufgabe gestoßen, die
> ich diesem Forum nicht vorenthalten möchte:
>  
> Sei [mm]n \in \IN[/mm], [mm]S[/mm] eine endliche Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] mit [mm]0 \in S[/mm]
> und [mm]g:S \to S[/mm] eine Abbildung mit den Eigenschaften
>  
> [mm]g(0)=0[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]||g(s)-g(t)||_2=||s-t||_2[/mm]  für alle [mm]s,t \in S[/mm].
>  
> [mm](||*||_2[/mm] bezeichne die euklidische Norm auf [mm]\IR^n)[/mm]
>  
> Man zeige, dass es eine lineare Abbildung [mm]f: \IR^n \to \IR^n[/mm]
> gibt mit der Eigenschaft [mm]f_{|S}=g.[/mm]
>  Es wäre nett, wenn sich einer der Moderatoren die Mühe
> machen würde, die Aufgabe in der üblichen Weise zu
> dekorieren.
>  
> Gruß FRED


Da bislang noch keine Reaktionen kamen, möchte ich einige Hinweise geben, dabei bezeichne $<*,*>$ das Standardskalarprodukt auf dem [mm] \IR^n [/mm] :

1. Zeige: $<g(s),g(t)>=<s,t>$  für alle $s,t [mm] \in [/mm] S$

2. Sei $V$ die lineare Hülle von $S$ und $B$  eine Basis von $V$ mit $B [mm] \subset [/mm] S$. Definiere $f:B [mm] \to [/mm] V$ durch

     $f(b):=g(b)$  für $b [mm] \in [/mm] B$.

Setze dann $f$ linear auf $V$ fort.

3. Zeige, dass $f$ auf $V$ injektiv ist. Damit hat man dann auch $f(V)=V$.

4. Zeige: $f(s)-g(s) [mm] \in V^{\perp}$ [/mm] für $s [mm] \in [/mm] S$.

5. Aus 4. folgt:  $ [mm] f_{|S}=g. [/mm] $

Wie es nun weitergeht, sollte klar sein.

FRED

    

Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 Sa 10.08.2013
Autor: felixf

Moin Fred,

> > Ich bin mal wieder auf eine schöne Aufgabe gestoßen, die
> > ich diesem Forum nicht vorenthalten möchte:
>  >  
> > Sei [mm]n \in \IN[/mm], [mm]S[/mm] eine endliche Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] mit [mm]0 \in S[/mm]
> > und [mm]g:S \to S[/mm] eine Abbildung mit den Eigenschaften
>  >  
> > [mm]g(0)=0[/mm]
>  >  
> > und
>  >  
> > [mm]||g(s)-g(t)||_2=||s-t||_2[/mm]  für alle [mm]s,t \in S[/mm].
>  >  
> > [mm](||*||_2[/mm] bezeichne die euklidische Norm auf [mm]\IR^n)[/mm]
>  >  
> > Man zeige, dass es eine lineare Abbildung [mm]f: \IR^n \to \IR^n[/mm]
> > gibt mit der Eigenschaft [mm]f_{|S}=g.[/mm]
>  >  Es wäre nett, wenn sich einer der Moderatoren die
> Mühe
> > machen würde, die Aufgabe in der üblichen Weise zu
> > dekorieren.
>
>
> Da bislang noch keine Reaktionen kamen, möchte ich einige
> Hinweise geben, dabei bezeichne [mm]<*,*>[/mm] das
> Standardskalarprodukt auf dem [mm]\IR^n[/mm] :
>  
> 1. Zeige: [mm]=[/mm]  für alle [mm]s,t \in S[/mm]

Wenn man weiss, was die Beziehung zwischen Skalarprodukt und (euklidischer) Norm ist, ist das einfach.

> 2. Sei [mm]V[/mm] die lineare Hülle von [mm]S[/mm] und [mm]B[/mm]  eine Basis von [mm]V[/mm]
> mit [mm]B \subset S[/mm]. Definiere [mm]f:B \to V[/mm] durch
>  
> [mm]f(b):=g(b)[/mm]  für [mm]b \in B[/mm].
>  
> Setze dann [mm]f[/mm] linear auf [mm]V[/mm] fort.

Wieso liegt denn $g(b) [mm] \in [/mm] V$? Das muss doch nicht der Fall sein.

> 3. Zeige, dass [mm]f[/mm] auf [mm]V[/mm] injektiv ist. Damit hat man dann
> auch [mm]f(V)=V[/mm].

Es gilt zumindest [mm] $\dim_K [/mm] f(V) = [mm] \dim_K [/mm] V$, aber nicht umbedingt $f(V) = V$.

Aber $f(V) = V$ braucht man auch nicht, oder?

> 4. Zeige: [mm]f(s)-g(s) \in V^{\perp}[/mm] für [mm]s \in S[/mm].

Das sollte wieder mit der Skalarprodukt/Norm-Beziehung gehen.

> 5. Aus 4. folgt:  [mm]f_{|S}=g.[/mm]

[ok]

> Wie es nun weitergeht, sollte klar sein.

Man setzt $B$ zu einer Basis von [mm] $\IR^n$ [/mm] fort und waehlt die restlichen Werte von $f(b)$, $b [mm] \in [/mm] B$ zufaellig.

Aber: ist [mm] $f|_V$ [/mm] nicht bereits eine orthogonale Abbildung? Und wenn man es passend fortsetzt, ebenfalls $f : [mm] \IR^n \to \IR^n$? [/mm] Und nicht einfach nur linear?

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Lineare Abbildung: Dummy-Frage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Di 26.03.2013
Autor: reverend

Hallo allerseits!

Bitte auf diese Frage nicht antworten, es ist ja auch gar keine.
Dieser Frageartikel dient nur dazu, die Übungsaufgabe sichtbar zu halten.

Grüße
reverend


Bezug
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