Lineare Abbildung / PG(K) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Translation von AG(3,K): [mm] f:K^{3}\to K^{3} [/mm] mit [mm] \vektor{x \\ y \\ z}\mapsto\vektor{x \\ y \\ z}+\vektor{p \\ q \\ r} [/mm] in PG(3,K) durch eine lineare Abbildung beschrieben wird:
[mm] f':K^{4}\to K^{4} [/mm] mit [mm] \vektor{w \\ x \\ y \\ z}\mapsto\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ p & 1 & 0 & 0 \\ q & 0 & 1 & 0 \\ r & 0 & 0 & 1}\vektor{w \\ x \\ y \\ z}. [/mm] Die Koordinaten seien jeweils bzgl. der kanonischen Basis. |
Hallo an Alle,
ich verzweifle gerade an dieser Aufgabe. Erst mal habe ich Verständnisprobleme. Mir ist nicht klar, in welchem Zusammenhang f und f' stehen. Ich habe irgendwie versucht anhand der Matrix eine lineare Abbildung zu konstruieren, aber was sind denn die Basen bzw. welche betrachte ich denn? Die im 4 oder im 3 dim Raum? Zur Erklärung noch: AG(3,K) ist die affine Geometrie über einem Körper K mit 3-dim VR und PG(3,K) entsprechend die projektive Geometrie. Das ist auch noch so ein Problem. Wo kommt auf ein Mal die 4. Dimension her? Bitte um Hilfe.
Viele Grüße
Daniel
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Hallo, man verwendet hier homogene Koordinaten. Ziel ist es, die Translation als affine Abbildung linear zu machen. Das schafft man durch Matrizen. An ihrem Beispiel würde ich so arbeiten:
Betrachte die Abbildung $ [mm] \vektor{x' \\ y' \\ z'}\mapsto\vektor{x \\ y \\ z}+\vektor{p \\ q \\ r} [/mm] $. Mit homogenen Koordinaten entsprechend:
$ [mm] \vektor{x' \\ y' \\ z' \\ w}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ p & 1 & 0 & 0 \\ q & 0 & 1 & 0 \\ r & 0 & 0 & 1}\vektor{x \\ y \\ z \\ w}. [/mm] $.
Zur Vereinfachung kann man auch w=1 wählen.
Lösen Sie dieses Gleichungssystem und Sie werden wieder auf die Abbildung oben kommen, womit gezeigt wäre, dass sich die Abbildung so darstellen lässt. Außerdem ist das eine Motivation überhaupt für die Einführung der homogenen Koordinaten. Grüße
RS
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