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| Aufgabe | Bestimmen Sie eine lineare Abbildung f: [mm] R^{3} [/mm] -> [mm] R^{3}, [/mm] die die Projektion auf die Ebene
[mm] \varepsilon [/mm] : [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
beschreibt.
Hinweis: Wählen Sie eine passende (Orthogonal-)Basis. |
Guten Abend,
Ich habe bei dieser Aufgabe leider keine Ahnung, wie ich das berechne.
Zumindest kann ich schon einmal den Hinweis beherzigen und das Vektorprodukt zwischen den Richtungsvektoren bilden:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} \times \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Aber wie gehe ich nun vor?
Liebe Grüße,
Pingumane
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> Bestimmen Sie eine lineare Abbildung f: [mm]R^{3}[/mm] -> [mm]R^{3},[/mm] die
> die Projektion auf die Ebene
> [mm]\varepsilon[/mm] : [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>
> beschreibt.
> Hinweis: Wählen Sie eine passende (Orthogonal-)Basis.
> Guten Abend,
>
> Ich habe bei dieser Aufgabe leider keine Ahnung, wie ich
> das berechne.
>
> Zumindest kann ich schon einmal den Hinweis beherzigen und
> das Vektorprodukt zwischen den Richtungsvektoren bilden:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 2} \times \vektor{2 \\ 1 \\ -2}[/mm] =
> [mm]\vektor{-2 \\ 2 \\ -1}[/mm]
Hallo,
nun hast Du ja eine Basis gefunden, die vorzüglich zu der gesuchten Abbildung f paßt.
Überlege Dir, auf welche Vektoren Deine Basisvektoren vermöge f abgebildet werden, also
[mm] f(\vektor{1 \\ 2 \\ 2})=
[/mm]
[mm] f(\vektor{2 \\ 1 \\ -2}= [/mm]
[mm] f(\vektor{-2 \\ 2 \\ -1})=
[/mm]
> Aber wie gehe ich nun vor?
Danach kannst Du Dir ausrechnen, worauf die Standardbasisvektoren abgebildet werden.
Schreibe dazu [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren Deiner Basis und nutze die Linearität.
(Die anderen beiden analog.)
Damit kannst Du die Abbildungsmatrix aufstellen,
oder [mm] f(\vektor{x\\y\\z})=... [/mm]
angeben.
LG Angela
>
>
> Liebe Grüße,
> Pingumane
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Danke für die Antwort, aber ich fürchte ich bin in dem Thema nicht so fit :(
> nun hast Du ja eine Basis gefunden, die vorzüglich zu der
> gesuchten Abbildung f paßt.
> Überlege Dir, auf welche Vektoren Deine Basisvektoren
> vermöge f abgebildet werden, also
>
> [mm]f(\vektor{1 \\ 2 \\ 2})=[/mm]
> [mm]f(\vektor{2 \\ 1 \\ -2}=[/mm]
> [mm]f(\vektor{-2 \\ 2 \\ -1})=[/mm]
Ich komme bei diesem Schritt schon nicht mehr weiter. Nehmen wir das erste Beispiel
[mm]f(\vektor{1 \\ 2 \\ 2})=[/mm]
In welche Funktion soll ich die (1, 2, 2) denn einsetzen? Das ist mir leider noch nicht klar. Wenn ich die Abbildung davon berechnen soll, brauche ich doch eine Matrix, oder? Also [mm] A*f(\vektor{1 \\ 2 \\ 2}) [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y \\ z}. [/mm] Bin ich grad total falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:35 Di 05.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f sollst Du doch bestimmen !! f ist die Orthogonalprojektion auf obige Ebene, also gilt
$ f(\vektor{1 \\ 2 \\ 2})=\vektor{1 \\ 2 \\ 2} $
$ f(\vektor{2 \\ 1 \\ -2})= \vektor{2 \\ 1 \\ -2}$
$ f(\vektor{-2 \\ 2 \\ -1})= 0}$
fred
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Ich bin in dem Thema der Linearen Abbildungen wirklich sehr schlecht, tut mir Leid. Ich brauch da ein wenig mehr Hilfestellungen.
Angela hatte ja gesagt
> Schreibe dazu $ [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] $ als Linearkombination der Basisvektoren > Deiner Basis und nutze die Linearität.
> (Die anderen beiden analog.)
> Damit kannst Du die Abbildungsmatrix aufstellen,
>
> oder $ [mm] f(\vektor{x\\y\\z})=... [/mm] $
>
> angeben.
Ich habe das so verstanden:
[mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{1\\2\\2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2\\1\\-2} [/mm] + [mm] \gamma \vektor{-2\\2\\-1}
[/mm]
Und wenn ich das auflöse, erhalte ich [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}, \mu= \bruch{2}{9}, \gamma [/mm] = [mm] -\bruch{2}{9}
[/mm]
Analog habe ich das für die anderen Basisvektoren bestimmt.
Habe ich dadurch meine Matrix A mit [mm] \bruch{1}{9}\pmat{ 1 & 2 & -2\\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1}?
[/mm]
Aber fred betonte ja noch einmal ich soll f bestimmen. Aber ich weiß nicht, wie ich das machen soll, ich habe da große Lücken :(
Ich bin mir sicher, dass ich das falsch gemacht habe, oder zumindest sehe ich keinen Zusammenhang zu der Bestimmung von f.
Hilfe...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Di 05.07.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du weisst, auf was deine 3 gewählten Basisvektoren abgebildet werden, worauf wird denn dann ihre Linearkombination abgebildet? also z.B. (1,0,0)?
Gruß leduart
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Hallo,
die gegebenen Vektoren werden jeweils auf sich selbst abgebildet.
Mein errechneter orthogonaler Vektor wird auf den Nullvektor abgebildet.
Aber warum ist das so? Es wurde zwar als Antwort gegeben, aber ich verstehe nicht ganz, warum das so ist, bzw wie ich darauf kommen kann.
Und ich weiß nicht, worauf die Linearkombination abbildet. Mit welcher Überlegung kann ich mir das klar machen?
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Hallo,
mal vorweg ein paar "Kleinigkeiten" zu den linearen Abbildungen:
Durch die Angabe ihrer Funktionswerte auf einer Basis ist die lineare Abbildung eindeutig bestimmt.
Kennst Du die Funktionswerte auf einer Basis, so kannst Du Dir daraus sämtliche anderen Funktionswerte erschließen, indem Du die Linearität ausnutzt.
Beispiel: B=( [mm] \vektor{1\\1}, \vektor{1\\2}) [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^2.
[/mm]
Durch
[mm] f(\vektor{1\\1}):=\vektor{1\\2\\3},
[/mm]
[mm] f(\vektor{1\\2}):=\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
ist eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^2\to \IR^3 [/mm] eindeutig bestimmt.
Wie sieht die Zuordnungsvorschrift aus?
Man überlegt sich:
[mm] \vektor{1\\0}=2*\vektor{1\\1}-1*\vektor{1\\2}.
[/mm]
Also ist
[mm] f(\vektor{1\\0})=f(2*\vektor{1\\1}-1*\vektor{1\\2})=2*f(\vektor{1\\1})-1*f(\vektor{1\\2})=2*\vektor{1\\2\\3}-1*\vektor{0\\1\\0}=\vektor{2\\3\\6}
[/mm]
Entsprechend bekommt man
[mm] f(\vektor{0\\1})=\vektor{0\\-1\\-3}.
[/mm]
Somit ist
[mm] f(\vektor{x\\y})=f(x*\vektor{1\\0}+y*\vektor{0\\1})=x*\vektor{2\\3\\6}+y*\vektor{0\\-1\\-3}=\vektor{2x\\3x-y\\6x-3y},
[/mm]
oder wenn Du die Abbildungsmatrix verwenden willst:
[mm] f(\vektor{x\\y})=\pmat{2&0\\3&-1\\6&-3}*\vektor{x\\y}.
[/mm]
Nun zu Deiner Aufgabe:
> die gegebenen Vektoren werden jeweils auf sich selbst
> abgebildet.
> Mein errechneter orthogonaler Vektor wird auf den
> Nullvektor abgebildet.
> Aber warum ist das so? Es wurde zwar als Antwort gegeben,
> aber ich verstehe nicht ganz, warum das so ist, bzw wie ich
> darauf kommen kann.
In der Aufgabe steht, daß die gesuchte Abbildung die Projektion auf die von [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] aufgespannte Ebene ist.
Hast Du schonmal Schattenspiele gemacht? Bestimmt als Kind.
Die angestrahlte Wand ist die Ebene.
Hältst Du ein Stöckchen parallel zur Ebene, so sieht sein Schatten aus wie das Stöckchen selbst.
Also: Vektoren, die parallel zur Ebene sind, werden auf sich selbst abgebildet.
Hältst Du das Stöckchen senkrecht zur Ebene, siehst Du nur einen Punkt, keinen Strich mehr.
Also: Vektoren, die senkrecht zur Ebene sind, werden auf den Nullvektor abgebildet.
(Du sollstest mal schauen, wie Ihr "Projektion" definiert habt, und dann prüfen, ob die gebastelte Abbildung zu Deiner Definition paßt.)
>
> Und ich weiß nicht, worauf die Linearkombination abbildet.
> Mit welcher Überlegung kann ich mir das klar machen?
Wenn Du das Beispiel oben duchgearbeitet hast, wirst Du es können!
LG Angela
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Vielen lieben Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast! Es wird mir schon klarer, was ich hier mache. Die Analogie mit dem Schatten find ich super, hat mir sehr geholfen!
Nun dann meine Rechnung [Rechenfehler entdeckt!]:
Meine Basis ist ja
[mm] B={\vektor{1 \\ 2 \\ 2}, \vektor{2 \\ 1 \\ -2}, \vektor{-2 \\ 2 \\ -1}}
[/mm]
Die ersten beiden Vektoren spannen die Ebene auf, werden also auf sich selbst abgebildet.
[mm] f(\vektor{1 \\ 2 \\ 2})= \vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
[mm] f(\vektor{2 \\ 1 \\ -2}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
Der dritte Vektor ist das Kreuzprodukt, und somit senkrecht auf der Ebene. Deshalb wird er auf den Nullvektor abgebildet.
[mm] f(\vektor{-2 \\ 2 \\ -1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Dann bestimmt man die Linearkombination der Vektoren, die die jeweiligen Einheitsvektoren ergeben:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] + [mm] \gamma \vektor{-2 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Das Gleichungssystem ergibt [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}, \mu [/mm] = [mm] \bruch{2}{9}, \gamma [/mm] = [mm] -\bruch{2}{9}
[/mm]
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} f(\vektor{1 \\ 2 \\ 2}) [/mm] + [mm] \bruch{2}{9} f(\vektor{2 \\ 1 \\ -2}) [/mm] - [mm] \bruch{2}{9} f(\vektor{-2 \\ 2 \\ -1})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9} \vektor{1 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{9} \vektor{2 \\ 1 \\ -2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{9} \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{9}\vektor{3 \\ 3 \\ -2} [/mm] [Fehler!]
Das gleiche bestimme ich für [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
und erhalte für
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}\vektor{4 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}\vektor{-2 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
Und damit meine Abbildungsmatrix
[mm] f(\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}\pmat{ 3 & 4 & -2 \\ 3 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 0}\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Habe ich das so richtig verstanden?
Die Lösung ist:
[mm] f(\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}\pmat{ 5 & 4 & -2 \\ 4 & 5 & 2 \\ -2 & 2 & 8}\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Habe ich mich nur verrechnet (werde es noch einmal überprüfen), oder habe ich noch etwas falsch gemacht?
Vielen liebsten Dank für die Hilfe an alle! :)
EDIT: Grammatik
EDIT2: Es war ein Rechenfehler. Die Abbildungsmatrix stimmt überein! Vielen Dank noch einmal!
EDIT3: Wie kann ich die Frage hier zu einer Antwort ändern? Tut mir Leid für den Ärger.
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Hallo,
die Zahlen nachgerechnet habe ich nicht,
vom Prinzip her sieht's vernünftig aus.
LG Angela
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