Lineare Abbildung bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:26 Mi 02.06.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | | Gibt es eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^{2}\to\IR^{3} [/mm] mit [mm] f(\vektor{1 \\ 2}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 0}, f(\vektor{3 \\ 5}) [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 2} [/mm] und [mm] f(\vektor{-1 \\ -1}) [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3}? [/mm] |
Ich denke eine solche Abbildung existiert nicht.
(i) [mm] f(\vektor{3 \\ 5})=\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
(ii) [mm] f(\vektor{-1 \\ -1})=\vektor{4 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
Wegen (ii) müsste [mm] f(\vektor{x \\ y})=\vektor{\cdots \\ (x-y) oder (2x-2y) usw \\ \cdots} [/mm] sein.
Allerdings kann dann die Zuordnugsvorschrift nicht auch bei (i) gelten.
Kann ich so argumentieren?
Wie würde ich die lineare Abbildung finden, falls es eine gäbe?
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> Gibt es eine lineare Abbildung [mm]f:\IR^{2}\to\IR^{3}[/mm] mit
> [mm]f(\vektor{1 \\ 2})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 0}, f(\vektor{3 \\ 5})[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}[/mm] und [mm]f(\vektor{-1 \\ -1})[/mm] =
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3}?[/mm]
> Ich denke eine solche Abbildung
> existiert nicht.
> (i) [mm]f(\vektor{3 \\ 5})=\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
> (ii)
> [mm]f(\vektor{-1 \\ -1})=\vektor{4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> Wegen (ii) müsste [mm]f(\vektor{x \\ y})=\vektor{\cdots \\ (x-y) oder (2x-2y) usw \\ \cdots}[/mm]
> sein.
Hallo,
irgendwie bist Du auf dem völlig falschen Trip.
Wir haben es hier mit linearen Abbildungen zu tun.
Sie sind durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig festgelegt. (Aufgrund der Linearität.)
Es kann
> [mm]f(\vektor{1 \\ 2})[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 0}, f(\vektor{3 \\ 5})[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 2}[/mm]
überhaupt nicht "falsch" sein, denn [mm] \vektor{1\\2}, \vektor{3\\5} [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^2, [/mm] welcher man nach Lust und Laune Funktionswerte zuweisen kann.
Es kommt nun darauf an, ob
> [mm]f(\vektor{-1 \\ -1})[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
sich mit der geforderten Linearität von f verträgt.
Schreibe [mm] \vektor{-1 \\ -1} [/mm] als Linearkombination der beiden anderen Vektoren und schau (Linearität v. f) , ob der zugewiesene Funktionswert paßt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Mi 02.06.2010 | | Autor: | stk66 |
Hoffe ich habe Dich richtig verstanden.
[mm] \vektor{-1 \\ -1} [/mm] = [mm] 2*\vektor{1 \\ 2}-\vektor{3 \\ 5}
[/mm]
Muss dann also auch [mm] f(\vektor{-1 \\ -1}) [/mm] = [mm] 2*f(\vektor{1 \\ 2})-f(\vektor{3 \\ 5}) [/mm] sein damit eine lineare Abbildung f existiert?
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> Hoffe ich habe Dich richtig verstanden.
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> [mm]\vektor{-1 \\ -1}[/mm] = [mm]2*\vektor{1 \\ 2}-\vektor{3 \\ 5}[/mm]
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> Muss dann also auch [mm]f(\vektor{-1 \\ -1})[/mm] = [mm]2*f(\vektor{1 \\ 2})-f(\vektor{3 \\ 5})[/mm]
> sein damit eine lineare Abbildung f existiert?
Hallo,
ja, Du hast mich haargenau verstanden.
Gruß v. Angela
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