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| Aufgabe | Es sei V = [mm] \IR [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Weiter sei a,b [mm] \in \IR [/mm] fixiert. Wir definieren eine Abbildung [mm] \psi: [/mm] V* [mm] \to \IR [/mm] durch
[mm] \psi(\phi) [/mm] := [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{\phi(x)}{1+x^2}dx}
[/mm]
a) [mm] Zeige:\psi \in [/mm] V**
b) Bestimme das [mm] \psi [/mm] entsprechende Elemente von V unter dem kanonischen Isomorphismus V [mm] \to [/mm] V** (V [mm] \cong [/mm] V**) |
Hallo zusammen
Ich habe diese Aufgabe erhalten und stehe nun völlig auf dem Schlauch. Ich weiss einfach nicht wie ich den Beweis beginnen/schreiben soll.
Ich möchte wie folgt vorgehen.
zu a) 1. zeigen dass [mm] \psi :(\phi) \to \IR, \forall \phi \in [/mm] V*
2. zeigen [mm] \psi [/mm] ist linear
zu b)Ja hier weiss ich jetzt gar nicht wie ich das machen kann
Es wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte, bzw mir einen Anstoss geben könnte wie ich den Beweis beginnen soll.
Danke schon im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Sa 19.03.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei V = [mm]\IR[/mm] als [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Weiter sei a,b [mm]\in \IR[/mm]
> fixiert. Wir definieren eine Abbildung [mm]\psi:[/mm] V* [mm]\to \IR[/mm]
> durch
>
> [mm]\psi(\phi)[/mm] := [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{\phi(x)}{1+x^2}dx}[/mm]
>
> a) [mm]Zeige:\psi \in[/mm] V**
> b) Bestimme das [mm]\psi[/mm] entsprechende Elemente von V unter
> dem kanonischen Isomorphismus [mm]V \to[/mm] [mm] V^{\ast\ast}[/mm] [/mm] (V [mm]\cong[/mm] V**)
> Hallo zusammen
>
> Ich habe diese Aufgabe erhalten und stehe nun völlig auf
> dem Schlauch. Ich weiss einfach nicht wie ich den Beweis
> beginnen/schreiben soll.
>
> Ich möchte wie folgt vorgehen.
>
> zu a) 1. zeigen dass [mm]\psi :(\phi) \to \IR, \forall \phi \in V^\ast[/mm]
Richtig. Eigentlich muss dafür ja nur das Integral überhaupt definiert sein, denn das Ergebnis von
[mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{\phi(x)}{1+x^2}dx}[/mm]
ist (per Definition des Integrals) eine reelle Zahl.
Wenn du dir jetzt noch überlegst, wie eine beliebige lineare Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] aussieht, dann kannst du leicht zeigen, das das Integral immer definiert ist.
> 2. zeigen [mm]\psi[/mm] ist linear
Ja, weil das Integral linear ist.
> zu b)Ja hier weiss ich jetzt gar nicht wie ich das machen
> kann
Der kanonische Isomorphismus geht doch so: du ordnest der Zahl [mm] $v\in [/mm] V$ die Abbildung [mm] $\psi_v\in V^{\ast\ast}$ [/mm] zu, für die gilt:
[mm] \psi_v(\phi) = \phi(v) [/mm] für alle linearen Abbildungen [mm] $\phi\in V^\ast$
[/mm]
Setze die allgemeine Form einer linearen Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] ein, dann ist das eine einfache Rechnung.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Sa 19.03.2011 | | Autor: | pelzig |
Zu Teil b) beachte, dass für [mm]\phi\in V^\*[/mm] gilt [mm]\phi(x)=\phi(1)\cdot x[/mm] und damit[mm]\int_a^b\frac{\phi(x)}{1+x^2}\ dx=\phi(1)\cdot\int_a^b\frac{x}{1+x^2}\ dx=\phi(\zeta)[/mm] mit [mm]\zeta:=\int_a^b\frac{x}{1+x^2}\ dx\in\IR[/mm].
Gruß, Robert
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