Lineare Abbildung von V nach W < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien V und W K-Vektorräume, und [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] sei Erzeugendensystem von V. Es sei [mm]\phi : J \to W[/mm] eine Abbildung, so dass folgendes gilt:
Sind [mm]j_1, ..., j_n[/mm] aus J und [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] aus K, so dass [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0[/mm] ist, dann ist [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = 0[/mm].
Zeige, dass es dann genau eine lineare Abbildung [mm]f : V \to W[/mm] gibt, so dass [mm]\forall j \in J[/mm] [mm]f(v_j) = \phi(j)[/mm] ist. |
Hallo,
mein Lösungsansatz ist folgender:
Ich schicke [mm] \sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0 [/mm] durch meine Funktion f, dann hab ich folgendes:
[mm]f(\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = \sum_{k=1}^n f(\lambda_k * v_{j_k}) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) = 0[/mm]
Also folgt aus [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0[/mm] auch [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) = 0[/mm]
Darf ich nun sagen: [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = 0[/mm] und deswegen ist [mm]f(v_{j_k}) = \phi(j_k)[/mm]?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien V und W K-Vektorräume, und [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] sei
> Erzeugendensystem von V. Es sei [mm]\phi : J \to W[/mm] eine
> Abbildung, so dass folgendes gilt:
>
> Sind [mm]j_1, ..., j_n[/mm] aus J und [mm]\lambda_1,...,\lambda_n[/mm] aus K,
> so dass [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0[/mm] ist, dann ist
> [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = 0[/mm].
>
> Zeige, dass es dann genau eine lineare Abbildung [mm]f : V \to W[/mm]
> gibt, so dass [mm]\forall j \in J[/mm] [mm]f(v_j) = \phi(j)[/mm] ist.
> Hallo,
> mein Lösungsansatz ist folgender:
> Ich schicke [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0[/mm] durch
> meine Funktion f,
Hallo,
ich sehe ein Riesenproblem beim "Durchschicken": Du hast die Funktion f doch noch gar nicht definiert, oder?
Was soll f sein? Eine beliebige lineare Funktion? Eine bestimmte lineare Funktion? Mir ist das nicht klar.
Du mußt hier ja die Existenz und die Eindeutigkeit einer solchen linearen Funktion f zeigen.
> dann hab ich folgendes:
> [mm]f(\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = \sum_{k=1}^n f(\lambda_k * v_{j_k}) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) = 0[/mm]
>
> Also folgt aus [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0[/mm] auch
> [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) = 0[/mm]
Ja. Wenn Du f als linear vorausgesetzt hast, ist das kein Wunder. Das gilt ja für jede lineare Funktion.
> Darf ich nun sagen: [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = 0[/mm]
> und deswegen ist [mm]f(v_{j_k}) = \phi(j_k)[/mm]?
Hier wäre ich skeptisch. Nehmen wir als VR W mal [mm] \IR.
[/mm]
Daraus, daß 0=1*1+2*2+3*(-3)= 1*(-1)+2*(-2)+3*3 ist, kann ich ja nicht 1=-1, 2=-2, 3=-3 schließen.
Gruß v. Angela
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Hallo, vielen Dank schonmal für die Antwort:
> Hallo,
>
> ich sehe ein Riesenproblem beim "Durchschicken": Du hast
> die Funktion f doch noch gar nicht definiert, oder?
>
> Was soll f sein? Eine beliebige lineare Funktion? Eine
> bestimmte lineare Funktion? Mir ist das nicht klar.
>
> Du mußt hier ja die Existenz und die Eindeutigkeit einer
> solchen linearen Funktion f zeigen.
>
Ok, dann definiere ich mir die Funktion f. Davor will ich aber noch schnell eine Hilfsfunktion definieren, weil ich sonst noch weiß, wie ich es besonders gut aufschreibe. Also meine Hilfsfunktion g sieht so aus:
[mm]g : V \to J[/mm] und zwar so dass immer gilt: [mm]g(v_j) = j[/mm].
Für f gilt dann: [mm]f(x) = \phi(g(x))[/mm].
Kann ich sagen, diese Funktion ist linear, weil gilt:
Da [mm]\phi(j) = f(v_j)[/mm], ist [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) = f(\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = 0[/mm]
Und wie zeige ich, dass es keine andere Funktion gibt, die ähnliches kann?
Mfg
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> > Du mußt hier ja die Existenz und die Eindeutigkeit einer
> > solchen linearen Funktion f zeigen.
> >
>
> Ok, dann definiere ich mir die Funktion f. Davor will ich
> aber noch schnell eine Hilfsfunktion definieren, weil ich
> sonst noch weiß, wie ich es besonders gut aufschreibe. Also
> meine Hilfsfunktion g sieht so aus:
>
> [mm]g : V \to J[/mm] und zwar so dass immer gilt: [mm]g(v_j) = j[/mm].
>
> Für f gilt dann: [mm]f(x) = \phi(g(x))[/mm].
Hallo,
Du meinst sicher: "ich definiere dann f(x) : = [mm] \phi(g(x))".
[/mm]
Auch hier gibt's ein großes Problem:
1. Dein g soll eine Abbildung mit Definitionsberich V sein.
Du erklärst nun, welchen Funktionswert g den [mm] v_j [/mm] zuweist, davon weiß ich aber immer noch nicht, was g(x) für beliebiges [mm] x\in [/mm] V ist.
2. Möglicherweise hast Du, weil wir hier in der linearen Algebra sind, "vergessen" zu sagen, daß g eine lineare Funktion sein soll.
Dann drängt sich aber eine andere Frage auf: ist die so definierte Funktion g wirklich linear?
Ich meine nicht, daß Du solche eine Hilfsfunktion brauchst, trotzdem sind wir damit bereits bei des Pudels Kern angekommen:
alles kreist um die Frage, ob es eine lineare Funktion f mit [mm] f(v_j):=\phi(j) [/mm] gibt.
Ich habe den Eindruck, daß Du bisher das Problem noch nicht recht erkannt hast:
es ist ja so, daß jede lineare Funktion eindeutig durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis bestimmt ist - bloß die [mm] v_j [/mm] bilden nicht unbedingt eine Basis! Da ist von "Erzeugendensystem" die Rede.
Da ein Erzeugendensystem eine Basis enthält, ist dann f sicher eindeutig - allerdings muß man sich um die Existenz von f kümmern.
Also: gibt es solch eine lineare Funktion?
Ich will die Problematik mal an einem Beispiel schildern:
gibt es eine lineare Funktion [mm] g:\IR^2 \to \IR^3 [/mm] mit
[mm] g(\vektor{1\\1})=\vektor{1\\2}, g(\vektor{1\\3})=\vektor{1\\4}, g(\vektor{2\\4})=\vektor{2\\5} [/mm] ?
Gruß v. Angela
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> gibt es eine lineare Funktion [mm]g:\IR^2 \to \IR^3[/mm] mit
>
> [mm]g(\vektor{1\\1})=\vektor{1\\2}, g(\vektor{1\\3})=\vektor{1\\4}, g(\vektor{2\\4})=\vektor{2\\5}[/mm]
> ?
Nein, weil dine Funktion ist ja quasi [mm]g(\vektor{x\\y}) = \vektor{x\\y+1}[/mm]. Wäre die Funktion linear, dann müsste
[mm]\vektor{tx\\ty+t} = t*\vektor{x\\y+1} = t*g(\vektor{x\\y}) = g(t*\vektor{x\\y}) = g(\vektor{tx\\ty} = \vektor{tx\\ty+1}[/mm] sein. Aber [mm]\vektor{tx\\ty+t} \not= \vektor{tx\\ty+1}[/mm]. (Außer t = 1)
Ich hab aber noch eine andere Verständnisfrage:
Der Satz "Sind alle [mm]j_1,...,j_n[/mm] und [mm]\lambda_1,...\lambda_n[/mm] aus K, so dass [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0[/mm] ist, dann ist [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = 0[/mm]."
Kann ich dort nicht daraus schließen, dass [mm]\phi(j_k)[/mm] ein vielfaches von [mm]v_{j_k}[/mm] oder gleich sein muss und deswegen V und W die gleiche Ordnung haben müssen?
Mfg
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> > gibt es eine lineare Funktion [mm]g:\IR^2 \to \IR^3[/mm] mit
> >
> > [mm]g(\vektor{1\\1})=\vektor{1\\2}, g(\vektor{1\\3})=\vektor{1\\4}, g(\vektor{2\\4})=\vektor{2\\5}[/mm]
> > ?
>
> Nein, weil dine Funktion ist ja quasi [mm]g(\vektor{x\\y}) = \vektor{x\\y+1}[/mm].
Hallo,
was meinst Du mit "quasi"?
Ein lineare Funktion mit [mm] g(\vektor{1\\1})=\vektor{1\\2}, g(\vektor{1\\3})=\vektor{1\\4} [/mm] gibt es, das ist gar kein Problem!
Probleme macht hier lediglich die Forderung, daß zusätzlich [mm] g(\vektor{2\\4})=\vektor{2\\5} [/mm] gelten soll.
> Ich hab aber noch eine andere Verständnisfrage:
> Der Satz "Sind alle [mm]j_1,...,j_n[/mm] und [mm]\lambda_1,...\lambda_n[/mm]
> aus K, so dass [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0[/mm] ist,
> dann ist [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = 0[/mm]."
> Kann ich
> dort nicht daraus schließen, dass [mm]\phi(j_k)[/mm] ein vielfaches
> von [mm]v_{j_k}[/mm] oder gleich sein muss und deswegen V und W die
> gleiche Ordnung haben müssen?
Es sind in dieser Aufgab V und W vorgegeben. Die stehen, und an deren Ordnung (was meinst Du damit eigentlich?) gibt's nichts zu drehen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
also ich habe die Aufgabe leider immer noch nicht geschafft...
Also für die Eindeutigkeit habe ich inzwischen folgendes da stehen:
f sei beliebige lineare Funktion von V nach W.
[mm](v_j)_{j \in J}[/mm] ist Erzeugendensystem, also ist [mm]span(v_j) = V[/mm].
Sei nun [mm]v \in V[/mm], dann ist [mm]f(v) = f(\summe_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = \summe_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) = \phi(j_k)[/mm].
Für eine andere beliebige lineare g gilt jedoch auch [mm]f(v_{j_k}) = \phi(j_k) = g(v_{j_k})[/mm].
Dann ist also [mm]\phi(j_k) = \summe_{k=1}^n \lambda_k * g(v_{j_k}) = g(\summe_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = g(v) = f(v)[/mm].
Mit der Existenz komme ich leider nicht weiter... habe auch schon meinen Tutor gefragt, aber er konnte (oder wollte) mit auch nicht weiter helfen...
> Es sind in dieser Aufgab V und W vorgegeben. Die stehen,
> und an deren Ordnung (was meinst Du damit eigentlich?)
> gibt's nichts zu drehen.
Hatte die Ordnung mit der Dimension verwechselt.
Ich hatte gehofft, dass man vielleicht über die Dimension irgendwie argumentieren könnte, weil ich gedacht hatte, es gilt ja [mm]\summe_{k=1}^n \lamda_k * v_{j_k} = 0 \Rightarrow \summe_{k=1}^n \lamda_k * \phi(j_k) = 0[/mm]. Sollten nun z.B. [mm]v_{j_k}[/mm] und [mm]v_{j_k+1}[/mm] linear abhängig sein, dann sind ja auch [mm]\phi(j_k)[/mm] und [mm]\phi(j_{k+1})[/mm] linear abhängig, sogar mit gleichem [mm]\lambda_k[/mm] und [mm]\lambda_{k+1}[/mm] - zudem falls [mm]v_{j_k}[/mm] und [mm]v_{j_k+1}[/mm] linear unabhängig sind, sind es auch [mm]\phi(j_k)[/mm] und [mm]\phi(j_{k+1})[/mm].
Deswegen hatte ich gedacht [mm](\phi(j_k))_{j \in J}[/mm] könnte ein Erzeugendensystem sein für W?
Auf jedenfall komme ich hier nicht weiter, wäre für einen kleinen Denkanstoß nochmal sehr dankbar :)
Mit freundlichen Grüßen,
Christoph
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> Hallo,
> also ich habe die Aufgabe leider immer noch nicht
> geschafft...
> Also für die Eindeutigkeit habe ich inzwischen folgendes
> da stehen:
Hallo,
Du hast Dich jetzt also entschieden, an der Eindeutigkeit zu arbeiten.
>
> f sei beliebige lineare Funktion von V nach W.
???
Das ist doch Quatsch.
Du willst doch zeigen, daß , sofern es eine Funktion f:V [mm] \to [/mm] W mit [mm] f(v_j)=\phi(j) [/mm] gibt, diese eindeutig bestimmt ist.
da kommst Du mit "irgendeiner" linearen Funktion nicht weit...
der Gedanke: Du nimmst an, daß Du zwei Funktionen f, g mit der besagten Eigenschaft hast und zeigst, daß sie gleich sein müssen.
> [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] ist Erzeugendensystem, also ist [mm]span(v_j) = V[/mm].
Das ist richtig.
>
> Sei nun [mm]v \in V[/mm], dann ist [mm]f(v) = f(\summe_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = \summe_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) \green{= }\phi(j_k)[/mm].
Wo kommt das grüne Gleichheitszeichen her? ich verstehe das nicht - und halte es für falsch.
> Für eine andere beliebige lineare g gilt jedoch auch
> [mm]f(v_{j_k}) = \phi(j_k) = g(v_{j_k})[/mm].
Die hier ist ein sinnvoller Gedanke.
Bedenke nun, daß das Erzeugendensystem eine Basis enthält. Also stimmen f und g auf einer Basis überein ==> ???
> Dann ist also [mm]\phi(j_k) = \summe_{k=1}^n \lambda_k * g(v_{j_k}) = g(\summe_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = g(v) = f(v)[/mm].
s.o.
>
> Mit der Existenz komme ich leider nicht weiter... habe auch
> schon meinen Tutor gefragt, aber er konnte (oder wollte)
> mit auch nicht weiter helfen...
Zur Existenz haben wir doch schon ein bißchen etwas gesagt.
Es dreht sich alles um die Frage, ob es eine lineare Funktion f gibt mit [mm] f(v_j)=\phi(j).
[/mm]
Sofern $ [mm] (v_j)_{j \in J} [/mm] $ eine Basis ist, ist das keinerlei Problem: dann braucht man doch einfach bloß zu definieren [mm] f(v_j):=\phi(j), [/mm] und fertig ist die lineare Funktion. (Warum eigentlich?)
Das Problem kommt, wenn [mm] (v_j)_{j \in J} [/mm] keine Basis ist, wir hatten das am Beispiel besprochen.
Für den Fall, daß [mm] v_k [/mm] irgendeine Linearkombination der Basiselemente ist, muß man nämlich zeigen, daß [mm] \phi(k)=f(v_k) [/mm] eine entsprechende Linearkombination der Bilder der Basiselemente ist,: Dies ist der Knackpunkt der Aufgabe, und dies gilt es vorzurechnen.
> Deswegen hatte ich gedacht [mm](\phi(j_k))_{j \in J}[/mm] könnte
> ein Erzeugendensystem sein für W?
I.a. dürfte das nicht klappen. Es könnte ja z.B. das Erzeugendensystem von V 4 Elemente enthalten, W jedoch die Dimension 23 haben.
Gruß v. Angela
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Hallo,
vielen, vielen Dank für die Antworten und die Geduld mit mir :)
> der Gedanke: Du nimmst an, daß Du zwei Funktionen f, g mit
> der besagten Eigenschaft hast und zeigst, daß sie gleich
> sein müssen.
Ok, diesmal dann anders :D
1. Eindeutigkeit:
Seien f,g zwei lineare Funktionen für die gilt:
[mm]f(v_{j_k}) = \phi(j_k) = g(v_{j_k})[/mm]
Da [mm] (v_j)_{j \in J} [/mm] ein Erzeugendensystem ist, gilt: [mm]span(v_j) = V[/mm].
Nun sei [mm]v \in V[/mm].
Dann ist:
[mm]f(v) = f(\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = \sum_{k=1}^n \lambda_k f(v_{j_k}) =[/mm] (*)
[mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k g(v_{j_k}) = g\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = g(v)[/mm].
(*) Wegen: [mm]f(v_{j_k}) = \phi(j_k) = g(v_{j_k})[/mm]
> Für den Fall, daß [mm]v_k[/mm] irgendeine Linearkombination der
> Basiselemente ist, muß man nämlich zeigen, daß
> [mm]\phi(k)=f(v_k)[/mm] eine entsprechende Linearkombination der
> Bilder der Basiselemente ist,: Dies ist der Knackpunkt der
> Aufgabe, und dies gilt es vorzurechnen.
>
>
2. Existenz:
[mm]\phi(j) = \phi(\sum_{k=1}^n \lambda_k *j_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) =
f(\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = 0[/mm].
Weil f linear ist, ist [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k} = 0 \gdw \sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = 0[/mm]
Zudem sind die linearkombinationen gleich, weil dort das selbe [mm]\lambda_k[/mm] ist?
Ganz vergessen wegen der Frage warum man, wäre [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] eine Basis wäre... weil man dann alles linear kombinieren könnte?
Mir freundlichen Grüßen,
Christoph
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> Ok, diesmal dann anders :D
>
> 1. Eindeutigkeit:
> Seien f,g zwei lineare Funktionen für die gilt:
> [mm]f(v_{j_k}) = \phi(j_k) = g(v_{j_k})[/mm]
>
> Da [mm](v_j)_{j \in J}[/mm] ein Erzeugendensystem ist, gilt:
> [mm]span(v_j) = V[/mm].
>
> Nun sei [mm]v \in V[/mm].
>
> Dann ist:
> [mm]f(v) = f(\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = \sum_{k=1}^n \lambda_k f(v_{j_k}) =[/mm]
> (*)
> [mm]\sum_{k=1}^n \lambda_k g(v_{j_k}) = g\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = g(v)[/mm].
>
> (*) Wegen: [mm]f(v_{j_k}) = \phi(j_k) = g(v_{j_k})[/mm]
Hallo,
diesmal ist es nicht nur anders, sondern auch richtig. dem kann ich jetzt folgen.
Dein Existenz"beweis" ist so noch nichts.
Du mußt auch richtig aufschreiben, was Du tust oder zu tun gedenkst, und zwar nicht nur für den Leser, sondern auch für Dich.
Es ist hier zunächst eine Abbildung zu definieren und dann zu zeigen, daß sie die geforderten Eigenschaften hat.
Bzgl. des "wie" sind geringfügige Unterschiede denkbar.
Entweder Du zeigst, daß durch [mm] f(v_j):=\phi(j) [/mm] f.a. [mm] v_j [/mm] aus dem Erzeugendensystem eine lineare Abbildung definiert wird, was hierfür zu tun ist, ist jetzt im Post mehrfach gesagt worden, nicht zuletzt anhand des Zahlenbeispiels.
Du kannst die lineare Funktion f aber auch zunächst auf einer Basis definieren. Diese Abbildung existiert auf jeden Fall.
Und dann zeigst Du, daß auch für Elemente des Erzeugendensystems, die nicht zu Deiner Basis gehören, das richtige herauskommt.
Es sieht mir vielleicht ein bißchen so aus, als hättest Du den vagen Plan gehabt, so ähnlich vorzugehen.
> > Für den Fall, daß [mm]v_k[/mm] irgendeine Linearkombination der
> > Basiselemente ist, muß man nämlich zeigen, daß
> > [mm]\phi(k)=f(v_k)[/mm] eine entsprechende Linearkombination der
> > Bilder der Basiselemente ist,: Dies ist der Knackpunkt der
> > Aufgabe, und dies gilt es vorzurechnen.
> >
> >
>
> 2. Existenz:
> [mm]\phi(j) \red{=} \phi(\sum_{k=1}^n \lambda_k *j_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * \phi(j_k) = \sum_{k=1}^n \lambda_k * f(v_{j_k}) =
f(\sum_{k=1}^n \lambda_k * v_{j_k}) = 0[/mm].
Was für ein j soll das sein? Ein beliebiges?
Dann hast du jetzt gerade gezeigt, daß die Abbildung [mm] \phi [/mm] die Nullabbildung ist.
Bereits das rote Gleichheitszeichen ist mir rätselhaft.
Gruß v. Angela
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