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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Benja91 |
| Aufgabe | | Ist die Abbildung [mm] L:R^{3}->R^{2} [/mm] definiert durch [mm] L(\vektor{x1 \\ x2 \\x3})=\pmat{ x*x2 \\ x1+x3 } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
Hallo,
ich muss obige Aufgabe berechnen und habe meine Probleme damit. Auch die Kriterien für die Linearität von Abbildungen hilft mir nicht weiter. Es wäre toll wenn ihr mir helfen könntet, auch wenn ich leider keinen Ansatz liefern kann.
Vielen Dank und ein schönes Wochenende
Benja
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Hallo Benja91,
> Ist die Abbildung [mm]L:R^{3}->R^{2}[/mm] definiert durch
> [mm]L(\vektor{x1 \\
x2 \\
x3})=\pmat{ x*x2 \\
x1+x3 }[/mm] linear?
Ich nehme an, dass es heißen soll: [mm]L\left(\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}\right)=\vektor{x_{\red{1}}\cdot{}x_2\\
x_1+x_3}[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
>
> Hallo,
>
> ich muss obige Aufgabe berechnen und habe meine Probleme
> damit. Auch die Kriterien für die Linearität von
> Abbildungen hilft mir nicht weiter. Es wäre toll wenn ihr
> mir helfen könntet, auch wenn ich leider keinen Ansatz
> liefern kann.
Nun, das Produkt in der ersten Komponente des Bildes sollte dir die Linearität kaputt machen.
Wenn du zwei allg. Vektoren [mm]\vec{x}=\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] und [mm]\vec{y}=\vektor{y_1\\
y_2\\
y_3}[/mm] abbildest und dann addierst, also [mm]L(\vec{x})+L(\vec{y})[/mm] berechnest, kommt
[mm]\vektor{x_1\cdot{}x_2\\
x_1+x_3}+\vektor{y_1\cdot{}y_2\\
y_1+y_3}=\red{\vektor{x_1\cdot{}x_2+y_1\cdot{}y_2\\
x_1+x_3+y_1+y_3}}[/mm] heraus.
Was kommt raus, wenn du [mm]L(\vec{x}+\vec{y})[/mm] berechnest?
[mm]\vektor{(x_1+y_1)(x_2+y_2)\\
(x_1+y_1)+(x_3+y_3}=\red{\vektor{x_1x_2+y_1y_2+\left[y_1x_2+x_1y_2\right]\\
x_1+x_3+y_1+y_3}}[/mm]
Das stimmt zwar in der zweiten Komponente überein, aber in der ersten wohl im Allgemeinen nicht. Der Ausdruck in den eckigen Klammern ist i.A [mm]\neq 0[/mm]
Suche dir also 2 möglichst einfache Vektorn [mm]\vec{x},\vec{y}[/mm] und rechne damit vor:
[mm]L(\vec{x}+\vec{y})\neq L(\vec{x})+L(\vec{y})[/mm]
Die Suche nach einem Gegenbsp überlasse ich dir. Nimm ein paar einfache Vektoren und probiere etwas rum.
Orientieren kannst du dich an der Rechnung mit den allg. Vektoren oben ...
Falls übrigens das ganz oben in der ersten Bildkomponente nicht [mm]x_{\red{1}}\cdot{}x_2}[/mm] heißen soll, sondern [mm]x_{\blue{3}}\cdot{}x_2[/mm] (o.ä.), geht das ganz analog.
Die Multiplikation mach dir die Linearität kaputt ...
>
> Vielen Dank und ein schönes Wochenende
Dir auch!
> Benja
Gruß
schachuzipus
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