Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei C die Menge R×R. Ein Element z aus C schreiben
wir z = (x, y). Wir definieren auf C die beiden Verknüpfungen (x, y)+
(x0, y0) = (x + x0, y + y0) und (x, y) · (x0, y0) = (xx0 − yy0, xy0 + x0y).
Zeigen Sie, dass C ein Körper ist, und dass ¶ : R ! C, ¶(x) = (x, 0) ein
Körperhomomorphismus ist. Definieren Sie auf C die Struktur eines
Verktorraums über R. Sei i = (0, 1) 2 C, und sei f : C ! C, f(z) =
i · z. Ist f eine lineare Abbildung? |
Hallo,
bin das erste mal in dem Forum also bitte bisschen nachsicht.
Den ersten Teil der Aufgabe hab ich schon gelöst ( hoff ich zumindest). Man sollte ja zeigen dass C ein Körper ist.
Als neutrales Element der Addition hab ich (0,0) und für die Multiplikation (1,0), inverses zur addition ist (-x,-y) und inverses zur multiplikation ist [mm] (x0/(x0^2+y0^2),y0/-(x0^2+y0^2))
[/mm]
Achja doch noch ne kurze Frage zu der wegen Assoziativität, muss ich das auch explizit zeigen also aufschreiben oder reicht dazu ein satz, dass es aus den verknüpfungen hervorgeht?
So jetzt der zweite Teil man soll zeigen dass es ein Körperhomomorphismus ist.
Die Bedingung dafür ist ja:
f(a + b) = f(a) + f (b)
f(a * b) = f(a) * f(b)
Jetzt versteh ich nicht ganz was dieses ¶(x) = (x, 0) bedeuten soll, heisst das jedem Element aus R wird ein Paar der Form (x, 0) zugeordnet wird?
Also wenn das so wäre kann man dann schreiben:
x + 0 = x + 0 + y + 0
x = x + y
0 = y
stimmt ja da dass zweite element nach voraussetzung 0 sein muss.
bei dem letzten teil der aufgabe brauch ich ansatzhilfe den versteh ich nicht so richtig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Sa 01.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Luka,
Assoziativität Nachrechnen ist immer langweilig und für die Addition wäre ich auch mit Deinem Argument einverstanden, aber bei der ja etwas aufwändiger definierten Multiplikation sollte man das doch besser mal nachrechnen.
Jetzt zum 2. Teil. Ich weiß gar nicht, wo ich dieses Zeichen ¶ auf der Tastatur finde, deshalb schreibe ich mal f dafür. Richtig, Du hast recht, jedem Element a [mm] \in \IR [/mm] wird ein (a,0) in [mm] \IC [/mm] zugeordnet; f ist wohldefiniert, klar.
Was Du nun zeigen sollst, hast Du ja schon hingeschrieben und deshalb fang auch so an:
Seien a und b aus [mm] \IR.
[/mm]
f(a+b) = (a+b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f(a) + f(b)
Für die Multiplikation bitte selber.
Nun zum letzten Teil der Aufgabe.
[mm] \IC [/mm] soll also ein Vektorraum über dem Körper [mm] \IR [/mm] werden. Ich gehe davon aus, dass Du weißt, was ein Vektorraum ist.
Du musst also eine Addition + auf [mm] \IC [/mm] und eine Skalarmultiplikation [mm] \lambda [/mm] * mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] definieren und dann die Vektorraumgesetze nachweisen.
Ich denke für die Addition machen wir uns nicht müde und nehmen einfach die schon definierte Addition, was auch ne Menge Arbeit beim Nachweis des Vektorraumes spart, denn die kom. Gruppe hast Du ja oben schon gezeigt.
Und als Skalarmultiplikation? Na ja, auch da liegt doch [mm] \lambda [/mm] * (a, b) = [mm] (\lambda*a, \lambda*b) [/mm] mit (a, b) [mm] \in \IC [/mm] nahe.
Die notwendigen Vektorraumgesetze für die so definierte Sklarmultiplikation bitte nachrechnen.
Aha, und jetzt läßt der Aufgabensteller die Katze (zumindest teilweise) aus dem Sack. Dir ist sicher auch schon aufgefallen, dass der neu definierte Körper [mm] \IC [/mm] die komplexen Zahlen darstellt und das hier definierte i = (0, 1) ist die imaginäre Einheit, für die gilt i*i = -1.
Jetzt bleibt die Frage, ob f : [mm] \IC \to \IC [/mm] mit f(z) = i * z ein Vektorraumhomomorphismus (=lineare Abbildung) zwischen dem [mm] \IR-Vektorraum [/mm] _ [mm] \IC [/mm] mit sich selbst ist.
Auch hier erst mal hinschreiben, was das allgemein bedeutet und dann auf diesen Fall spezialisieren und entweder beweisen oder widerlegen.
Gruß
Uli
|
|
|
| |
|
Könnten Sie bitte bisschen ausführicher die 2. Teil der Aufgabe erklären.
Wie kann ich die Struktur eines Vektors definieren und wie zeige ich dass f eine lineare Abbildung ist. Ihre Ansatz habe ich leider nicht so gut verstanden. könnten sie bitte den ausführlicher hinschreiben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 02.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Natalia,
um einen Vektorraum zu definieren brauche ich zunächst einen Körper für die Skalare, dies soll hier nach Aufgabenstellung [mm] \IR [/mm] werden, dann eine kommutative Gruppe bzgl. einer Operation, die Addition genannt wird. Die kommutative Gruppe ist aber gerade das im Teil 1 der Aufgabe definierte [mm] \IC [/mm] mit dem dort definierten +. Jetzt bleibt die Definition der Skalarmultiplikation. Dies habe ich in meiner ersten Antwort schon definiert (siehe dort).
Was noch zu zeigen bleibt, sind die Gesetze im Zusammenhang mit der Skalarmultiplikation.
Assoziativität: Seien [mm] \lambda, \mu \in \IR, [/mm] z = (a,b) [mm] \in \IC.
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu [/mm] * z) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu [/mm] * (a,b)) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu \cdot [/mm] a, [mm] \mu \cdot [/mm] b) = [mm] (\lambda [/mm] * [mm] (\mu \cdot [/mm] a), [mm] \lambda [/mm] * [mm] (\mu \cdot [/mm] b)) = [mm] ((\lambda \cdot \mu) \cdot [/mm] a), [mm] (\lambda \cdot \mu) \cdot [/mm] b) = [mm] (\lambda \cdot \mu) [/mm] * (a,b) = [mm] (\lambda \cdot \mu) [/mm] * z
Wie oben gesagt Assotiativität Nachrechnen ist langweilig.
Distributivgesetz1:
Seien [mm] \lambda \in \IR, z_{1} [/mm] = (a,b) und [mm] z_{2} [/mm] = (c,d) [mm] \in \IC.
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] (z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * ((a,b) + (c,d)) = [mm] \lambda [/mm] * (a+c, b+d) = [mm] (\lambda \cdot [/mm] (a+c), [mm] \lambda \cdot [/mm] ( b+d)) = [mm] (\lambda \cdot [/mm] a + [mm] \lambda \cdot [/mm] c, [mm] \lambda \cdot [/mm] b + [mm] \lambda \cdot [/mm] d) = [mm] (\lambda \cdot [/mm] a, [mm] \lambda \cdot [/mm] b) + [mm] (\lambda \cdot [/mm] c, [mm] \lambda \cdot [/mm] d) = [mm] \lambda [/mm] * (a,b) + [mm] \lambda [/mm] * (c,d) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] z_{1} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] z_{2}
[/mm]
Das 2. Distributivgesetz kannst Du sicher jetzt selber.
Als letztes die Neutralität der 1:
Sei z = (a,b) [mm] \in \IC. [/mm] 1 * z = 1*(a,b) = (1 [mm] \cdot [/mm] a, 1 [mm] \cdot [/mm] b) = (a,b) = z
So weit, so gut. Es bleibt noch die Frage, ob f(z) = i * z eine lineare Abbildung auf [mm] \IC [/mm] ist. Da rechnen wir einfach mal nach:
Seien [mm] z_{1} [/mm] = (a,b) und [mm] z_{2} [/mm] = (c,d) [mm] \in \IC.
[/mm]
[mm] f(z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}) [/mm] = [mm] i*(z_{1} [/mm] + [mm] z_{2}) [/mm] = (0,1) * ((a,b) + (c,d)) = (0,1) * (a+c,b+d) = [hier die Multiplikation in [mm] \IC [/mm] anwenden] (-(b+d), (a+c)) = (-b,a) + (-d,c) = [und wieder wegen der Multiplikation in [mm] \IC] [/mm] (0,1)*(a,b) + (0,1)*(c,d) = [mm] i*z_{1} [/mm] + [mm] i*z_{2} [/mm] = [mm] f(z_{1}) [/mm] + [mm] f(z_{2})
[/mm]
Als letztes versuchen wir nun, mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] und z = (a,b) [mm] \in \IC, f(\lambda*z) [/mm] = [mm] f(\lambda*(a,b)) [/mm] = [mm] f((\lambda \cdot [/mm] a, [mm] \lambda \cdot [/mm] b)) = i * [mm] (\lambda \cdot [/mm] a, [mm] \lambda \cdot [/mm] b) = (0,1) * [mm] (\lambda \cdot [/mm] a, [mm] \lambda \cdot [/mm] b) = [hier die Multiplikation in [mm] \IC [/mm] anwenden] [mm] (-\lambda \cdot [/mm] b, [mm] \lambda \cdot [/mm] a) = [mm] \lambda [/mm] * (-b,a) = [und wieder wegen der Multiplikation in [mm] \IC] \lambda [/mm] * (0,1) * (a,b) = [mm] \lambda [/mm] * i * z = [mm] \lambda [/mm] * f(z).
Du solltest die einzelnen Schritte selber nachvollziehen und jedesmal überlegen, welches Gesetz die jeweilige Umformung erlaubt. Die Sache ist deshalb etwas knifflig, weil eigentlich 3 Multiplikationen vorkommen, für die ich aber nur 2 verschiedene Zeichen verwendet habe, nämlich [mm] \lambda [/mm] *, die Skalarmultiplikation, dann die Multiplikation in [mm] \IC, [/mm] da habe ich es dabeigeschrieben und [mm] \cdot, [/mm] die Multiplikation in [mm] \IR.
[/mm]
Ich hoffe Du kommst klar (und ich habe mich nirgendwo verschrieben).
Gruß
Uli
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 So 02.11.2008 | | Autor: | Natali1111 |
danke schön!!
|
|
|
|
